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 e la (4) ci dà quindi per l 2 il valore 



X* = fl r'4-l 



(IO) 



Ora basta aggiungere p. es., le due seconde (6), che danno 



-sloga (ìij = «;_«i 



Dm ( 1 j ( 1 )i a aj 

 ' ìv — U ' 



e soddisfatte queste, insieme alla (10), la rappresentazione di S sopra S : , 

 quando sieno conformate convenientemente a superficie di rotazione, conser- 

 verà altresì le linee assintotiche (o i sistemi coniugati). 

 Dalle (11) integrando abbiamo 



a 



l = c — = dar 2 -f- 1) , 



indicando con c una nuova costante arbitraria. Confrontando colla (10), si ha 

 dunque, per determinare r, V equazione differenziale 



ar 



(ir 2 + l)[l — <?'(«r«-{-l)]' 



tutte le superfìcie di rotazione che la soddisfano danno altrettante soluzioni 

 del problema. 



Per integrare la (12) poniamo 



r 



T 



T = -, 



r 



onde si può scrivere 



dT aTr 



dr (ar 2 -\- 1) 11 — c 2 {ar 2 -\-l)~] 



e quindi integrando 



T2 = ar 2 -\-l 



h[l — c\ar 2 + 1)] ' 

 essendo h una nuova costante. Abbiamo dunque 



J/ ar 2 -{-1 



e con una nuova quadratura si avrebbe r in funzione di w. Ma è inutile pro- 

 seguire V integrazione, poiché se sostituiamo nella (a) per rdu il valore pre- 



