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cedente, otteniamo già per il ds 2 della superfìcie S la forma perfettamente 

 determinata : 



(A) ds 2 = /0 g ' (fl f + ^ rfr 2 + r 2 <fo 2 . 



Osserviamo che se in questa cangiamo r in kr (k costante) ciò equivale 

 a moltiplicare simultaneamente le costanti a, h per k 2 ; ne segue che, senza 

 alterare la superficie, possiamo prendere il valore assoluto di una di queste 

 costanti = 1. 



Le superficie di rotazione (A) che risolvono il problema dipendono dunque, 

 come si era enunciato, da due costanti arbitrarie essenziali. Consideriamo ora 

 la seconda superficie Si , sulla quale la S, data dalla (A), è rappresentata 

 geodeticamente con conservazione dei sistemi coniugati. Essa avrà per la (a*) 

 e per la (13) l'elemento lineare 



(ar 2 4- l) 3 ar 2 -\- 1 



2 



2 



È chiaro a priori che questa forma di ds 2 deve rientrare nella (A) stessa, 

 dove soltanto saranno cangiati i valori delle costanti a, c, h. Ed in effetto, 



se poniamo 



i 



r 



>r\ = — , 

 y ar 2 -j- 1 



la precedente diventa: 



(A*) dsì = J =-^ — — 2 drì 4- rj dv 2 . 



Come si vede, è questa la (A) stessa, cangiate a, c, h in 



(14) ai — — a, (?,=—, hi = — /ìff 2 . 



<? 



5. Prendasi ora di una delle nostre superficie della classe (A) la super- 

 fìcie complementare (') S rispetto alle geodetiche v deformate dei meridiani. 

 Dimostreremo che questa complementare S appartiene alla sua volta alla 

 classe (A). 



Quando l' elemento lineare di una superficie S applicabile sopra una 

 perfide di rotazione è posto sotto la forma normale 



ds 2 = du 2 -J- r 2 dv 2 (r = (p(u), 



(') Lezioni ecc., pag. 131. 



