allora la (A) diventa 



— 274 — 



ds 2 == — ~ - — dr 2 + r 2 dv 2 . 

 ar 2 -\- 1 1 



Le due costanti «, h debbono qui avere segno contrario e senza alte- 

 rare la generalità potremo fare 



a) a = — 1, h = R 2 



ovvero 



« = +l, h= — U 2 . 



Così ponendo 



u = ]/l d= r 2 , 



avremo nel primo caso 



«*) ds 2 = R 2 \du 2 + (w 2 — 1) dv 2 \ 



e nel secondo 



/?*) ds 2 = R 2 ]du 2 + (1 — 2^ 2 ) dy 2 £. 

 L' uno e l'altro elemento lineare appartengono ad una falda dell' evoluta 



di una superficie a curvatura costante positiva = — , o, ciò che è lo stesso 



pel teorema di Bonnet, di una superficie a curvatura media costante = =. 



R 



Applicando i risultati sopra ottenuti, avremo due coppie (S, S), (Sj , Si) 

 di tali superficie, ciascuna coppia formando l' evoluta completa di una super- 

 ficie a curvatura media costante. In quale relazione fra loro stanno le due 

 evolventi 2, 2 X a curvatura media costante? Senza entrare qui nei calcoli 

 relativi, diciamo che la 2, 2 X son legate dalla trasformazione involutoria di 

 Hazzidakis ('), cioè 2, 2 X sono applicabili l' una siili' altra con conservazione 

 delle linee di curvatura ed inversione dei raggi principali di curvatura. Inver- 

 samente siano 2, 2 X due superficie a curvatura media costante, trasformate 

 l' una dell' altra per trasformazione di Hazzidakis, e siano (S, S) le due falde 

 della evoluta di 2 e (Sj , S,) quelle di 2 X . Sopra due falde omologhe S, S u 

 ovvero S, S x , si corrisponderanno non solo i sistemi coniugati, ma anche 

 le linee geodetiche. Questa proprietà della trasformazione di Hazzidakis non 

 sembra sia stata fin qui osservata. 



7. Lasciando ora da parte il caso c = l, già sopra considerato, propo- 

 niamoci di trovare la forma della curva meridiana per la superficie di rota- 

 (A). Sia 



s = *P(<>) 



l' equazione del meridiano, 1' asse di rotazione essendo l' asse delle z ed indi- 

 cando q il raggio del parallelo. Per determinare ^(q) dobbiamo identificare 

 la (A) con 



ds 2 = (l-h** 2 {°))dQ 2 + l 2 Q 2 dv 2 , 

 f) Lezioni, pag. 447. 



