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pel suo polo; l'ellisse s' si è dunque trasformata, mediante l'inversione, nella 

 curva Si data dalla (5), e l'area a' esterna ad s' nell'area g x interna ad s x . 



Chiamando u l , <Pi le funzioni ti , <£' espresse mediante le variabili 

 X\ , y\ , il sistema (1) potrà scriversi : 



^>i=0in<ri, / /2== ^l,^l\ 



Per risolvere il sistema precedente conviene fare la rappresentazione 

 conforme dell'area e, sopra un cerchio. Se indichiamo con a il cerchio di 

 raggio 1, appartenente al piano xy , e col centro nell'origine delle coordi- 

 nate, la rappresentazione conforme di e, sul cerchio g si eseguisce colle 

 formole ( l ) 



(7) U-|+*+§(*--V) 

 f y^=y-\-exy . 



Infatti riferendo i punti del cerchio g alle coordinate polari r , 6 in modo che 



# = r cos 6» , = r sen , 

 le formole precedenti possono anche scriversi: 



6 6 



Xx = - -f- ?" cos 6 -j- - r 2 cos 20 



Lì J, 



y l == r sen -f- - r 2 sen 20 , 

 onde, per r = 1 , cioè alla circonferenza s di g , corrisponde la curva : 



e 



ossia: 



cioè: 



[ X\ = - + cos 6 -j- ^ cos 20 

 = sen -f- o sen 20 , 



Xi = (l -\- e cos 0) cos 

 ^i = (1 -j- e cos 0) sen , 



= 1 -J- <? cos , 



che è precisamente la (5). 



(!) Almansi, Sulla ricerca delle funzioni poli-armoniche in un'area piana, ecc. 

 (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XIII, a. 1899). 



