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Se diciamo u , £> le funzioni Ui , (Pi espresse mediante le variabili x,y , 

 il sistema (6) si trasforma in quest'altro 



(8) {J 2 u = 0ma, = Jìi 



K ' \u = <P su s , \ Tu: 2 ìy»/ . 



In tal modo abbiamo dunque ricondotto la risoluzione del problema di 

 Dirichlet nell'area a' esterna all'ellisse s' alla risoluzione del problema di 

 Dirichlet per l'area circolare a ('). 



2. Si voglia ad es. costruire la funzione u , armonica nell'area a' , e 



che sul contorno s' assume gli stessi valori della funzione —r. . 



r 1 



Dovremo porre &' = -j^, onde il sistema (1) diventa: 



J't u' = Q in a' 

 , 1 



u = -pi su s ; 



facendo la trasformazione (3), (4) esso si muta nel seguente, analogo al (6) : 



L J\ U\ = in ffj 



( Ui = ri su Si ; 



applicando le (7) ed osservando che sulla circonferenza s si ha: 



e 1 



ri = xl -\- yì = — -{-\-\-ex-\- — {x* — y 2 ) -\- e x = 1 -\- e x -\- e x x , 



si otterrà, dal sistema precedente, quest'altro, analogo all'(8): 



| J* u = in a 



( u = 1 -\- 6 (x — j- Xi) su 5 ; 



e poiché la funzione \ -\- e (x -{- x x ) è armonica, si può porre, in ogni punto 

 del cerchio e: 



(9) u = 1 + ' + ac- 



cerchiamo ora la funzione u x , cioè la funzione u espressa mediante le 

 variabili x ìy y x ; dobbiamo perciò esprimere anzitutto x , y in funzione 

 di %i,yi. 



(•) Ponendo: z' = %' — iy' , z = x-\-iy, la rappresentazione conforme di a' su a è 

 data dalla formola: 



