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Dalle (7), eliminando x , si ha l'equazione : 



e 2 y* + (1 — e 2 + 2 e a?,) ?/ 2 — y! = , 



che fornisce per y 2 due valori, uno positivo e l'altro negativo; si dovrà tener 

 conto solo del valore positivo che è : 



_ (i _ e * _j_ 2 g gl ) + t/ (1 — e 2 + 2 e x x ) 2 + 4 e 2 y\ . 



y = 27 ' 



ne viene : 



è poi chiaro che y ed y x devono avere lo stesso segno. 



Sostituendo nella seconda delle (7), che può scriversi: l-{-0# = — , 

 si ha: 



l-j-ex = 



|/_ (i 4-2 e^.)_f-|/(i_ e 2 + 2 + 4* 



2 W S 



e 2 -{-2ex l -\-y(l — e 2 y 2 -\-4 : e(l — e 2 )xi + ée 2 rì 



u 



Abbiamo così x,y in funzione di «ri, /a; quindi la (9) porge: 



k, = e », + ^y-j/l — e 2 + 2 e + — e 2 ) 2 + 4 e (1 — e 2 ) x, + 4 e 2 r 2 . 



Passando infine dalle variabili ,£j alle x ,?/ mediante l'inversione (4) 

 e poi introducendo le coordinate polari r' , y> , si ha : 



Questa espressione di u' è quella cercata. 



E infatti facile verificare che questa funzione è armonica in o', inoltre 



nei punti di s' ha per valore — z , infine per r' = oo assume il valore \/l — e 2 , 



onde, seguendo una nota denominazione (*), si può dire che la funzione u' è 

 regolare all' infinito ; quindi essa soddisfa a tutte le condizioni poste. 



0) Picard, Traitè cPAnaìyse, t. II, chap. II. 



