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3. Determiniamo ora la funzione vi , regolare nell'area a' , e che sod- 

 disfa alle equazioni: 



l u 



= in V 



f "cM 



in cui ri indica la normale interna a a' , e , *P' sono funzioni date dei 

 punti di s' ( J ). 



Converrà fare l' inversione (4) e il cambiamento di funzione espresso 

 dalla formola: 



u (x' , y') 



perchè in tal caso si avrà, come è noto ( 2 ) : 



J* Ux = r' 6 J'* u , 

 quindi il sistema (10) si muterà nel seguente: 



j\ Uì = in o-, 



U\ = (Pi , = *P, SU Si , 



ove ^ è la normale interna all'area g x , limitata dalla curva s x , che, come 

 si vide nel § 1, è una Lumaca di Pascal non passante pel suo polo, 

 e £>i , 9*1 sono funzioni date dei punti di s x . 



La funzione u x , come è noto ( 3 ), può ottenersi espressa mediante inte- 

 grali definiti trasformando, per mezzo delle (7), l'area a x nell'area circolare a. 



4. Più in generale, si voglia determinare la funzione u' , regolare in a' 

 e che soddisfa alle equazioni 



j' 2 ™u' = in a' 



(11) lYu' , ,. a ', ,V 



1 — - = ^ su s' , = , 1 , ... , m — 1) , 



o n 



le CP'j essendo funzioni date nei punti di s . 



(') Il problema analogo per l'area interna all'ellisse s' V ho risolto nella mia Nota : 

 Integrazione dell'equazione 4*4* = in uri area ellittica (Atti del R. Istituto Veneto di 

 scienze, lettere ed arti, t. LX, parte 2 a , a. 1901). 



( J ) Levi-Civita, Sopra una trasformazione in se stessa dell' equazione ^ 2 ^ 2 = 

 (Id., t. IX, serie VII, a. 1898). 



( 3 ) Almansi, Memoria citata. Cfr. anche Almansi, Integrazione della doppia equa- 

 zione di Laplace (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie 5", voi. IX, 1° seme- 

 stre, 1900). 



