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e soggetto a forze conservative; talché le equazioni del moto sono 



(0) dt T>pi ' dt " Mi { 



ove H non dipende da t. Supponendo di conoscere k integrali o relazioni 

 invarianti di tal sistema in involuzione tra loro, non contenenti il tempo, 

 e risolubili rispetto ad altrettante p (per es. p{ , p z , .. pn) , il teorema in 

 parola si enuncia così: Se H t è ciò che diviene H quando alle pi,p2,Pk 

 si sostituiscono le espressioni dedotte dagli integrali o reiasioni invarianti 

 conosciute, le relazioni 



(1) ^=0 (i = k + l,...n) 



Opi oi£i 



insieme a quelle supposte note costituiscono un sistema invariante rispetto 

 all'equazioni canoniche. 



Di qui risulta, che dalle (1) e dalle k relazioni note, supposte tutte 

 indipendenti tra loro, si potranno ricavare le p e le qn+i , .... q n in funzione 

 delle qi , q z , ... q*; talché fatte le sostituzioni nel sistema canonico (0), 

 si otterrà un sistema ridotto di k equazioni, atto a definire le qi , q% , ... q% 

 in funzione del tempo. Le soluzioni particolari dedotte in questa maniera 

 corrispondono a moti stazionari del sistema, nel senso attribuito a questa 

 espressione dal Kouth e completato dal Levi-Civita 



L' importanza che ha senza dubbio l'enunciato teorema, rende manifesta 

 l' utilità di collegarne la deduzione alla teoria generale delle equazioni dif- 

 ferenziali, e in particolare a quella dei sistemi Hamiltoniani. Questo è 

 quanto ho voluto fare nello scrivere la Nota che ho l'onore di presentare 

 a questa R. Accademia. Avvertirò che dai miei calcoli e ragionamenti il 

 teorema risulta alquanto più esteso ; poiché, quando non sono soddisfatte le 

 condizioni necessarie all'esistenza delle soluzioni stazionarie del Levi-Civita, 

 ma ne sono soddisfatte certe altre, si possono ancora determinare delle classi 

 di soluzioni particolari, che però in generale non sono stazionarie. 



1. Consideriamo il sistema d'equazioni ai differenziali totali 



(2) 



dx m +i — bu dxy -f- b ì2 dx<i -f- -f- bim dx n 

 dX'fYi-tri - — dx i ~~[~~ $22 dx% ~~J-~ '■" ~J~ b^m dx^ 



dx\ -\~ bnì dxi -j~ ••• ~\- bnm dx n 



0) Sui moti stazionari dei sistemi olonomi. Eendiconti della Classe di se. fis., mat. 

 e nat., voi. X, serie 5", 1901. 



