— 311 — 



ove si riguardano le x x , x 2 , ••• x m come variabili indipendenti, x m+l , x m + 2 , 

 funzioni di quelle variabili, e i coefficienti b rs funzioni di tutte 

 le variabili x x , x m +n- Posto 



le condizioni 



( 3) x, ( *„)=x.(w ( r *rJu2:" m ) 



sono necessarie e sufficienti affinchè il sistema (2) sia completamente inte- 

 grabile. Supponendo soddisfatte queste condizioni, vediamo se è possibile di 

 determinare delle soluzioni particolari, tali che le x m+s non dipendano da 

 una delle variabili, per es. dalla x x . 



Dovranno pertanto essere nulle le derivate delle x m+s rispetto a X\ ; 

 cioè le equazioni 



(4) b ll = Q,b n =Q...b nl = Q 



dovranno essere identicamente soddisfatte per quelle espressioni delle x m + s , 

 che rappresentano le soluzioni particolari in discorso. Le quali dunque, se 

 esistono, si devono dedurre dalle (4) con operazioni puramente algebriche, 

 e quindi le b rl non dovranno contenere Xi . Resta a vedere se le espressioni 

 delle x m+s , così dedotte, soddisfano il sistema ridotto 



dXm+l b ì2 dxì -J- ••• -4- b lm dx m 



(2') 



dxm+n — b t i2 dx 2 —\~ "' b nm dx m . 



Basterà perciò che il differenziale totale di b rl (r = 1 , 2 , ... n) sia 

 identicamente nullo in virtù delle (2') e delle (4). Ora si ha 



m l)b- " ~òb 



d bn - - dxi -4- ^ — — — dx m +s 



,=2 OXi s= j òXfn+s 



ossia 



ma 



X i (b yl ) = X l (b li ), 

 Eendiconti. 1902, Voi. XI, 1° Sem. 



40 



