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il che sarà possibile, quando per le equazioni ai differenziali totali 



dc/i = — — dt — T~ — ~ dq r 

 (8) f ^ (i = A + l,...n) 



che equivalgono a quel sistema, siano soddisfatte le condizioni d'integrabi- 

 lità. E facile vedere che ciò avviene, ricorrendo alle (7) e alle condizioni 

 d'involuzione. Questo, del resto, è ben noto; ed è anche noto che dalle (8) 

 si deducono conseguenze importanti per la teoria generale dei sistemi Hamil- 

 toniani. 



Ma, giunti a questo punto, ci possiamo proporre di determinare delle 

 soluzioni particolari delle (8) ; per esempio delle soluzioni in cui le qi e pi 

 sieno funzioni di q x , q 9 , ... q h e non di t. In virtù del teorema dimostrato 

 nel paragrafo precedente, ciò sarà possibile quando i coefficienti delle (8) 

 non contengono t; quando cioè H' e le (p non dipendono da i. Stando in 

 queste ipotesi, il teorema ricordato ci dice che le soluzioni particolari sono 

 definite dalle equazioni: 



S=0 ^S = 0, (i = k-\-l,...n) 



^pi Ufi v 



che si ottengono uguagliando a zero i coefficienti di dt. Queste equazioni 

 insieme alla (a) e (5) definiscono oo 2?i moti, che sono i moti stazionari in- 

 dicati dal Levi-Civita. Così la ricerca di questi moti è direttamente colle- 

 gata alla classica teoria dei sistemi Hamiltoniani. 



Più generalmente possiamo supporre che H' e le y>, pur contenendo il 

 tempo, non dipendano da una delle variabili q x , q 2 , ... q k , per esempio 

 dalla q r . In tal caso il sistema (8) ammetterà la soluzione particolare defi- 

 nita dalle equazioni: 



^ = ^ = (*• = * + !, ...n); 

 1>Pì T>qi . ... 



le quali unite alle (a) e (5) definiranno oo 2 * moti particolari del sistema 

 dinamico. Questi moti però non saranno, in generale, moti stazionari. 



