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Matematica. — V ordine della varietà che annulla ì subde- 

 terminanti di un dato grado di un determinante emisimmetrico . 

 Nota del prof. Francesco Palatini, presentata dal Socio Segre. 



In una interessante Nota (') il prof. Segre, partendo da due importanti 

 forinole date dal sig. H. Schubert, risolve i due seguenti problemi « Deter- 

 minare gli ordini delle varietà che annullano i determinanti dei diversi 

 gradi estratti: 1° da una matrice qualsiasi con elementi affatto generici; 

 2° da una matrice quadrata simmetrica » . Un altro caso notevole da esami- 

 nare è quello della varietà che annulla i subdeterminanti del grado 2r-f-2 

 (e quindi anche quelli del grado 2 r -)- 1) di un dato determinante emisimme- 

 trico del grado «-J-1. La dimensione di questa varietà è r(2n — 2r-f-l) — 1, 

 il che può vedersi p. e. applicando il teor. II del § V della Memoria, 

 Ueber dass Pfaffsche Problem, del Frobenius ( 2 ). 



La questione di cui ci occupiamo equivale a quest'altra. Si considerino 



in uno spazio [ri] tutti gli oo m ^porremo m =■ — — ^ — ^ complessi 



lineari di rette ( 3 ), e per semplicità di linguaggio si rappresentino linear- 

 mente coi punti di un [m~\. Ciascun complesso dà luogo ad un sistema 

 nullo, cioè ad una reciprocità tale che ogni punto sta nell' iperpiano che 

 gli corrisponde, e il determinante di questa reciprocità è un emisimmetrico 

 del grado n-\-\. Se tutti i minori di grado 2 r -f- 2 si annullano, allora 

 il complesso è degenere, e precisamente possiede uno spazio-centro di di- 

 mensione n — 2 r , uno spazio tale cioè che ogni retta ad esso incidente 

 appartiene al complesso. Si tratta dunque di trovare l'ordine, che indiche- 

 remo con x n -2r , della varietà, che rappresenteremo con V^^ r+1) di \_m~\ 



la quale corrisponde all' insieme di quei complessi di [ri] che sono dotati 

 di [n — 2 r]-centro (almeno). Per n = 2 q , r== q si vede imme- 

 diatamente che la nostra varietà è di ordine q -f- 1 , cioè che sono q -j- 1 

 i complessi di un fascio generico di complessi di [n] (corrispondente ad 

 una retta generica di [to]) dotati di retta-centro ( 4 ). Per n = 2 q ,r = q — 1 



(') Gli ordini delle varietà che annullano i determinanti dei diversi gradi estratti 

 da una data matrice, Eend. Acc. Lincei, 1900, serie 5 a , voi. IX. 



( 2 ) Creile, voi. 82, 1876. 



( 3 ) In seguito si dirà complesso semplicemente in luogo di complesso lineare di rette. 



( 4 ) Cfr. Castelnuovo, Ricerche di geometria della retta nello spazio a quattro di- 

 mensioni, Atti Ist. Ven., 1891, serie VII, voi. 2°. 



