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pubblicata dal sig. Voss nel volume XVI dei Mathematische Annalen; in 

 modo tuttavia, che poco si presta alle applicazioni ed alle interpretazioni 

 geometriche. — Perciò non mi sembra inopportuno il ritornare sull'argomento 

 per presentare quelle forinole sotto la forma più semplice consentita dalle 

 notazioni proprie dei metodi, dei quali faccio uso, e per trarne alcune conse- 

 guenze relative alla curvatura di una varietà qualunque. 



Per ciò, che riguarda, le notazioni ed i metodi del Calcolo differenziale 

 Assoluto mi riferirò alla esposizione fattane dal prof. Levi-Civita e da me in 

 una Memoria inserita nel volume LIV dei Mathematische Annalen, la quale, 

 occorrendo, sarà qui citata colla lettera M seguita dai numeri corrispondenti 

 al capitolo, al paragrafo e, eventualmente, alla formola da consultare. 



1. Siano 



(f=^_a rs dx r dx s 

 i 



n+m 



ip — ^wc dy u dy v 



due forme differenziali quadratiche positive. Perchè la varietà V„ definita 

 dalla prima sia contenuta nella V n+m definita dalla seconda è necessario e 

 basta che si possano determinare y x , y 2 , y n +m in funzione di 

 in modo da soddisfare alle equazioni 



n+m 



(I) y_uv c m y u\r y v is = a rs O) 



1 



Derivando queste covariantemente secondo y> si ottengono delle equazioni, 

 a cui equivalgono le 



n+m n+m n+m 



(1) Qvt\r (c uv y^lst ~~\~ "^_v> Crw,u y^ls ywjt) == ì 

 l l 1 



nelle quali i simboli c rw ,H rappresentano i coefficienti di Christoffel di prima 

 specie relativi alla forma xp. 



Si rappresenti con e a p lo zero o l' unità, secondo che gli indici a e fi sono 

 distinti o coincidono, e si determinino le espressioni # a/M in modo da soddi- 

 sfare alle equazioni 



n +m 



(2) u yujv »a,« = 



1 



n+m 



(3) C (m) *P/« = , 



1 



designandosi con c (uv) i coefficienti della forma reciproca a ip. 



(') Gli indici r ,s ,t , a cui non siano attribuiti particolari valori, si intenderanno 

 sempre suscettibili di tutti i valori 1,2, .., n; quelli u , v , w dei valori 1 , 2 , .., n-\-m 

 e quelli a , jS , y , . dei valori 1,2,.., m . 



