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nelle quali a p) - tSt ; c uu ',w' rappresentano i simboli di Kiemann relativi alle 

 forme q> e %p . 



Le formole (III) e (IV) costituiscono la generalizzazione, rispettivamente, 

 della forinola di Gauss e di quelle di Codazzi nella ordinaria teoria della 

 superficie. 



Se la varietà V„+ TO è a curvatura costante K , le (III) e (IV) assumono 

 rispettivamente la forma 



m 



^ a {ba/rt baips — ^a/rs ba/pt) -\~ K (ctp S Q-rt — Clpi ttrs) == &pr,st 



ba/rst — ba/rts + ^3 (^afi/s^P/rt — /*afrt &(3/rs) — . 

 l 



E perchè V„ possa considerarsi contenuta in V„ +TO sarà in questo caso neces- 

 sario e sufficiente che si possano determinare le Z> a /»-s e le fi a ?>ir in modo da 

 soddisfare a queste equazioni. 



3. Alle formole (I), (II), (III) e (IV) si può estendere, qualunque sia m, 

 la trasformazione già da me esposta pel caso m = 1 (M, IV, 4). 



Si assuma in V„ una ennupla ortogonale di riferimento [1] , [2] , .., [ri] 

 e siano X l j r , X%\ r , X n j r i sistemi coordinati covarianti delle congruenze, che 

 la costituiscono. Si facciano poi le posizioni 



« 



(A) y ul r= X^r V 



1 



n 



(6) bajrs = ^.hh w a7ifc X hjr A ft;s 



l 



n 



(7) ^i'/rs = y_hk Yihh ^ft/c ^fc/.s • 



l 



Per le (A) le (I) assumeranno la forma 



n n +m 



'^_hk ^h/r Xjtis ~/^_uv Ciro £fc M ' = &rs 5 

 1 1 



ovvero (M, II, 1, (4')) 



n+m 



uv ^uv sft Sfc chk \ ì 



l 



E poiché queste ci dicono semplicemente che , , sono i sistemi 

 coordinati covarianti di n congruenze di linee contenute in V„+ m (le quali, 

 come risulta dalle (A), pei punti di V„ coincidono rispettivamente colle 



(') Gli indici, i,h,k si intenderanno qui e in seguito suscettibili dei valori 1,2,.., n. 



