ancora avvertito della torsione geodetica delle linee tracciate sulle ordinarie 

 superfìcie. 



Queste interpretazioni si estendono facilmente al caso, in cui la varietà 

 V„ +rrt sia qualunque, avendo presente che ad essa per le considerazioni rela- 

 tive all' intorno di un determinato punto possiamo sempre sostituire la 

 varietà euclidea ad n-\-m dimensioni tangente a V„ +m in 0. 



Se nelle (C) poniamo k = i,h — j, ne ricaviamo in particolare le 



o + 1 <ww r'' -?/ ,,,) $n ($r 



E poiché (M, IV, 4, (G)) w a ,-j « ajl j — è la espressione della curva- 

 tura totale della superfìcie geodetica di V„ passante per un punto qualun- 

 que e determinata dalle due direzioni [f\ e Q/'], considerata come apparte- 

 nente alla varietà euclidea V 3 determinata da queste e dalla direzione [_a\, 

 essa potrà dirsi curvatura totale della giacitura [//] di V„ rispetto alla 

 direzione [a] normale a V„. — Le forinole (C) stabiliscono quindi il se- 

 guente teorema: 



« Sia un punto qualunque di una varietà V n contenuta in una V n +m', 

 « e siano [1] , [2] , [w] m direzioni passanti per ortogonali fra di loro 

 « due a due e normali a Y„ . — La somma delle curvature totali di una 

 « superfìcie geodetica cr di V n passante per 0, comunque data, rispetto alle 

 * direzioni [1] , [2] , .. , [m] è indipendente dalla scelta di queste » . 



Designando poi questa col nome di curvatura di cr relativa a Y n +m , 

 la (C r ) ci dice ancora che 



« La curvatura di Gauss o curvatura assoluta di cr in ogni punto è 

 « eguale alla curvatura di a relativa a V n+m aumentata della curvatura 

 « assoluta della superfìcie geodetica di Y„ +m tangente a a » . 



Osserverò in fine che nel caso n = 3 , m = 1 le forinole (C) e (D) 

 assumono rispettivamente la forma 



(co 



a («aii Wttj?" 



1 



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>u «22 — «)* + y,„ y (uv) Su Zv = G 



