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indicando con k un fattore di proporzionalità. Da queste quadrando e som- 

 mando si deduce 



^,e = k-J.e 



e poiché è 



Jid Q ~=± J % @ === 2 (U -J- h) , 



ne viene 



k % = 1 . 



Le (2) si riducono dunque a 



7>0 O '_ >0 D6 ^6 

 ~òx ~ìy 1 ~òy ~òx ' 



e queste dicono appunto che le linee = cosi, O — cost. formano un sistema 

 ortogonale isotermo. 



Il teorema si può enunciare anche in questi termini: Se le linee = cost., 

 O = cost., ortogonali fra loro, sono traiettorie del punto, il sistema ortogo- 

 nale (0 , O ) è isotermo. 



Viceversa: Se è un integrale della (1), ed ammette la funzione coniu- 

 gata O i anche O è un integrale della (1), e le linee — cost., O = cost. 

 formano un sistema ortogonale (isotermo) di traiettorie del punto. 



Raccogliendo in un solo enunciato il teorema precedente col suo inverso, 

 possiamo dire: Condizione necessaria e sufficiente affinchè le linee 6 = cost. 

 formino, insieme colle linee ad esse ortogonali, un sistema di traiettorie 

 del punto mobile, è che la funzione (x,y) verifichi simultaneamente le 

 due equazioni 



(3) ^ = 2(U-f-th ^' = |£ + |£=0- 



Quel sistema ortogonale è allora isotermo. 



3. La questione di determinare i movimenti, nei quali sono possibili 

 sistemi ortogonali composti esclusivamente di traiettorie del punto, è dunque 

 ridotta a trovare le condizioni affinchè le due equazioni (3) abbiano una 

 soluzione comune. 



Derivando ora la prima delle (3) rispetto a x oppure rispetto a y , e 

 tenendo conto della seconda, si ottiene 



