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queste, risolte rispetto a — — , danno 



(4) 



\ Da? 2 ~2(U + A)\^ 1y ly) 



( D#7)y ~~2(U + A) \ 7>y Da? "3y/' 



e scrivendovi accanto l'altra 



D*d _ 1 / 7)U l>e_ _ DU J30\ 

 * ' Dy 2 ~ 2 (U -+- /i) V -jy uy 3ar ìa? / ' 



potremo dire che le condizioni cercate non sono altro che le condizioni d'in- 

 tegrabilità del sistema (4), (4'). Queste condizioni sono 



7) D 2 7) ~ì 2 ì Ve 7) 7> 2 



Dy "3^ 2 "J>#7)y 7>y <u?<>y Dxìy 2 



ed eseguendo i calcoli si trova che si riducono all'unica 

 (5) (U-f h)J 2 \J — J 1 J] = 0. 



La U non dipende altro che dalle coordinate x e y , e non contiene affatto 

 la costante h , per cui dovendo l'equazione essere soddisfatta identicamente, 

 dovrà aversi, fintantoché h non è nulla, 



JJJ ì U = J l TJ = 0. 



Queste due condizioni si riassumono poi nell'unica 



U = costante . 



Abbiamo dunque : l'unico movimento in cui esistano sistemi ortogonali 

 (isotermi) composti di sole traiettorie del punto, e nei quali la costante 

 delle forze vive non sia nulla, è il movimento rettilineo uniforme. Quei 

 sistemi ortogonali sono, in tal caso, formati dalle rette parallele ad una 

 stessa direzione e dalle loro perpendicolari. 



4. Lasciando da parte questo caso così semplice e supponendo ora h = , 

 l'equazione di condizione (5) si riduce a 



(5') U^ 2 U — ^11 = 0, 



e ci rimane da passare alla effettiva determinazione dei corrispondenti sistemi 

 ortogonali di traiettorie. Il procedimento che terremo ci farà ritrovare per U 

 la condizione (5'), e ridurrà il problema delle traiettorie alle quadrature. 



