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Questo problema, per quanto si è detto, consiste nel trovare le soluzioni 

 comuni alle equazioni (3) con h = , cioè le soluzioni del sistema 



(3') J X B == 2U , J 2 6 = Q. 



Posto 



il sistema (3') è equivalente a quest'altro: 



(3 ") 8\ + ol = 2U , ^ + ^ = , ^i_^ = . 



v ' ' ^ ~ 7)y ^ 



Dalla prima di queste ricaviamo 



2 = =t J/2U — #r , 

 e sostituendo nelle altre due otteniamo per 0! le equazioni 



(6) 



1 "Sy r ~àx 



2h = ^ìMlW w _ tlì + lkl 



Intanto la condizione di integrabilità 



~òy ìx ~òx ~òy 

 dà, osservando che deve aver luogo identicamente, 



(7) ^ 2 lg U = , 



e questa coincide precisamente coli' equazione (5') ('). 



Le (6) poi si integrano subito facendo la sostituzione 



0i = ± J/2Ù ^ , 

 poiché con ciò si trasformano nelle altre 



(') L'equazione di condizione che s'è trovata per la U, si può interpretare dicendo 

 che le linee U = cost. (equipotenziali) insieme colle loro traiettorie ortogonali (linee di 

 forza) debbono formare un sistema isotermo. 



