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Sarà bene mostrare direttamente sulle formole come la cosa accada. In 

 sostanza bisogna far vedere che le due equazioni 



0(x ,y ,a) = b , — = & {se , y , a!) = V 



rappresentano le medesime linee; ossia, che se L è una linea di equazione 

 6(x ,y , a) = b , dove a e b hanno certi valori determinati, dev'essere pos- 

 sibile attribuire ad a' e b' valori tali che l'equazione 0'(x , y. , a!) = b' rap- 

 presenti ancora la stessa linea: il che equivale a dire che si deve poter 

 esprimere a' e b' in funzione di a e b in modo che le due equazioni 



(IO) 6(x,y,a)=^b, 6' {x , y , a) = V 



coincidano. 



Ora ponendo per brevità 



le (8) si scrivono 



(8') 0, = ± |/2U sen (a + P) , 6 2 = Et |/2U cos (a -f P), 

 onde 



^1 = $ J^2 == _0 . 



Da 2 ' Da " 



avremo quindi dalla (9) : 



P0 



~'J{yz dxJr ^a dy ) == ^ 6ì dx ~ ° l dy ì ' 



e che 2 — 0, dy sia un differenziale esatto risulta dalla seconda delle (3"). 

 Le equazioni (10), cioè 



( j)6 1 {%.,y ,d)dx-\-6 2 (x ,y ,a)dy\==b 

 i Sì °2 {% ,y , a') dx — 0, (x , y , d) dy\ = b' 

 si riducono allora l'una all'altra mediante la sostituzione 



(11) a' = a+(M+l)^, 



con & intero qualunque; difatti si ha dalle (8') e (11): 



fi, (x ,y, a') = ah j/2Ù sen (d + P) = =t f/2U cos (« + P)= 2 , y , a) 

 2 , y , ci) = =h J/2U cos (a r -f- P) = zp |/2U sen (a + P) = — 0, , y , a) , 



per cui sostituendo nella seconda delle (10') e leggendovi — b in luogo di 

 b\ essa si identifica colla prima. 



