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Il più generale movimento della catena consiste della rotazione di 

 ciascun corpo G r intorno ad un asse istantaneo o permanente passante per 

 la sua origine P r0 , e di una traslazione variabile da corpo a corpo, che 

 può essere definita dalle coordinate assolute della rispettiva origine, che ha 

 cioè per componenti secondo gli assi fissi : £ r0 , r !m , Cro ■ Allora, se tutte le 

 rotazioni sono infinitesime ('), in modo da potersi decomporre ciascuna in 

 tre rotazioni infinitesime e successive ii r , % r , q r intorno agli assi delle £ , rj , £ , 

 e se gli assi solidali col corpo C r sono scelti in modo che per n r — % r = g r = 

 essi risultano rispettivamente paralleli agli assi fissi, trascurando le seconde 

 potenze delle rotazioni elementari, si trova che la posizione assoluta d' un 

 punto P r ; è definita dalle equazioni: 



(2) £ n - s r0 = X r i -f- {rtSCi)r t 6tc. , 



avendo fatta per brevità la posizione generica 



(A) {nXi) r — %r Sri — Qr Uri , etc. 



Per calcolare il valore di £ r0 notiamo che la (2) vale per qualunque 

 valore degli indici r,i: dunque in particolare ponendo r — s, i=l, ri- 

 cordando la (1"), e osservando che, per la (1), è 



£sl == £s+l J 



si avrà: 



? s +i o = £so + a s + {na) s : 



sommando i due membri di questa eguaglianza da s = l a s = r — 1, e 

 notando che in tal modo vengono eliminate £ 2 <> > £30 > ••• 1 ?r-i , si ottiene 



(3) s r0 = Sìa + a * + (na) s . 



1 1 



Vediamo intanto che di tutte le traslazioni si può ritenere arbitraria 

 soltanto quella del primo sistema: convenendo di rappresentare le sue com- 

 ponenti con cioè omettendo gli indici nella combinazione r = 1 , 

 i = , si ottiene infine dalla (2) e dalla (3) : 



r— 1 r-l 



(4) h'ri = £ + ZL. a * + tiri +^L S ( na )s + ( n tii) r , etc. 



1 1 



r = 1 , 2 , ... , n — 1 , n 



(4') £n = £ + Xi + {nxi), , etc. 



(') Come si può facilmente arguire, non uso questa parola infinitesimo nel suo si- 

 gnificato classico di grandezza variabile evanescente, ma bensì per « grandezza della quale 

 sia trascurabile ogni potenza superiore alla prima ». 



