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x ed y, con qualche maggiore precisione di quanto si faccia ordinaria- 

 mente ('). 



Era necessario di fare precedere quelle considerazioni alle altre, di cui 

 intendo ora occuparmi, di sviluppabilità di una funzione in serie di tal 

 forma. Sono più particolarmente degne d' interesse (per le loro applicazioni, 

 in special modo al calcolo delle differenze finite e allo studio delle relazioni 

 fra le funzioni generatrici e le loro determinanti) le serie procedenti secondo 

 le funzioni 



Ix \ x(x — 1 ) ... (x — n-\- 1 ) 



\n ì — 1.2 . 3...M ' 



o secondo le 



1.2.3...(k — 1) 



^" (#-f l)(a? + 2)... (*+.«)' 



Queste ultime sono quelle serie* che hanno formato oggetto delle recentis- 

 sime comunicazioni del sig. Nielsen all'Accademia di Parigi ( 2 ), già citate 

 nella precedente nota ; le prime, che formano V argomento della presente Nota, 

 danno pure luogo ad alcune interessanti osservazioni. 



1. Di una data successione 



(1) C a , Ci , C% , ... C n i ••• 



si dirà caratteristica il massimo limite k (I, § 1) di 



iogk»l ( 3 ) . 



log n ' 



la serie 2c n n~? è assolutamente convergente per E (q) > k -f- 1 C); essa 

 non è convergente per R (q) < k. 



Assumendo i numeri (1) a coefficienti della serie di fattoriali 



(2) S<)- 



si possono presentare i seguenti casi : 



(') Il sig. Bendixson (Àcta Math., T. II, pag. 24), ha già avuto occasione di distin- 

 guere, per serie procedenti secondo prodotti di fattori lineari, il campo di convergenza 

 semplice da quello di convergenza assoluto. 



( 2 ) Comptes Eendus, 30 décembre 1901 et 20 janvier 1902. Sul medesimo argomento 

 v. anche J. C. Kluyver nei medesimi Comptes Eendus, 10 mars 1902 e nel Nieuw Archief 

 voor Wiskunde di Amsterdam: « Over de ontivikkeling van eene functie in eene facultei- 

 tenreeks » (S. II, T. IV, 1900). 



( 3 ) La caratteristica di (1), aumentata di un'unità, dà ciò che il sig. Hadamard 

 (J. de Mathém., S. IV, T. Vili, 1892, pag. 170 e seg. ; e La sèrie de Taylor, nella 

 raccolta Scienzia, Paris, C. Naud, 1901, pag. 459), chiama ordine della serie 2c n z n 

 lungo il cerchio |z[ = l. 



( 4 ) ~R (x) indica sempre la parte reale di so. 



