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si ha k — — oo ; la (2) appartiene allora alla prima classe (I, § 3) ; 

 essa converge assolutamente ed uniformemente per tutti i valori finiti di x 

 e rappresenta in tutto il piano una funzione intera. 



k è finito ; in tal caso la (2) converge assolutamente ed uniforme- 

 mente per Ji(x)^>k e rappresenta per tali valori di x (?) un ramo ad un 

 valore a(x) di funzione analitica monogena. La serie si riduce ad un numero 

 finito di termini per x = o per x intero positivo e rappresenta quindi, 

 in ognuno di tali punti, un numero determinato; tuttavia questi punti non 

 si ascriveranno al campo di convergenza della serie (2), ed i 

 valori che essa assume nei punti stessi possono benissimo non essere quelli 

 della funzione <j(x) rappresentata dalla serie (2) nel suo campo di conver- 

 genza E (x) > k, anche se la funzione <*(x) esiste nel campo R (x) < k. 



infine si ha k = -\- co : la (2) non ha campo di convergenza e non 

 rappresenta quindi alcuna funzione analitica di x. Essa ha significato solo 

 per x — e per x intero positivo. 



2. Qualunque sia quello dei tre casi ora considerati in cui si trova 

 la serie (2), facendovi x = 0, 1, 2, . . . n, . . . si otterrà sempre una succes- 

 sione determinata 



(3) b , Ih , b 2 , ... *„ , ... 

 dove b„ è data da 



(4) b n = c + nei -\- ( + " ' + c «- 



Inversamente, risolvendo le (4) rispetto otterrà immediatamente 



la successione (1), data che sia la (3), per mezzo della formula 



(5) c n = b n —n b„.y + \ b n - 2 + (— 1)" h , 



che, mediante la notazione usuale del calcolo delle differenze finite, può 

 anche scriversi 



Cn = 4" b . 



Sia ora data una funzione analitica f(x) regolare per ogni valore 

 R (x) £^ 0, e si formi la successione 



J» f(0) . 



Se questa ammette una caratteristica k che non sia -f- 00 , la serie 



|yv(o)(*;) 



»=0 \' 1 ' 



(') Che si diranno costituire il campo di convergenza della sevie. 



