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convergerà assolutamente ed uniformemente per R (x) ^> k, e la differenza 



(6) 



rappresenterà, per ogni R {%) maggiore del maggiore fra i numeri e k. 

 una funzione analitica regolare, nulla nei punti 



essendo E (k) il massimo intero contenuto in k. 



L' espressione (6) è nulla per x — 0, 1, 2, ... E (#), anche se è E (k) > 0, 

 sebbene per R (x) k essa espressione (6) non rappresenti una funzione 

 analitica. 



Può accadere che la differenza (6) sia identicamente nulla: in tal caso 



elude intanto che è 



«condizione necessaria a che una funzione f(x) sia sviluppabile in serie 

 « di fattoriali, che la caratteristica di J n f(0) non sia -j~ 00 • " 



Si può aggiungere ancora che 

 «condizione necessaria a che una funzione f(x) trascendente intera sia 



« rappresentabile in tutto il piano da una serie di fattoriali {^^i e Cùe ^ a 



« caratteristica di J n f(0) sia — oc . » 



3. Le considerazioni precedenti conducono naturalmente a chiedere 

 se possono esistere sviluppi dello zero in serie di fattoriali, e di conse- 

 guenza, se per una stessa funzione possono esistere più sviluppi di tale forma. 

 L'esistenza di sviluppi dello zero è stata dimostrata dal Erobenius (') per 

 le serie procedenti secondo funzioni della forma 



egli considera più particolarmente il caso in cui 2\a n \ è convergente, ma 

 pure accennandoli, nel § 7 della sua Memoria, per altri casi e in particolare 

 per quello di serie di fattoriali, non costruisce effettivamente, per questo caso, 

 i detti sviluppi dello zero. 



Tali sviluppi si possono ottenere direttamente dalle relazioni che abbiamo 

 dal § precedente, nel seguente modo, del tutto elementare. 



Dapprima, non può esistere uno sviluppo dello zero 



x = E {k) + 1 , 



E (k) + 2 , ... , 



la funzione f(x) sarà sviluppabile in serie di fattoriali 



e se ne con- 



(x — ai) (x — a 2 ) ••• (x — a n ) ; 



(7) 



(') Creile, Bd. LXXIII, pag. 7 (1871). 



