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in cui la caratteristica k di c n sia negativa, a meno che tutte le c„ non 

 siano nulle. Infatti, se ciò fosse, i punti x = 0, 1, 2, . . . n, . . . cadrebbero 

 nel campo di convergenza di (7), e sarebbe pertanto b = b x = ■ ■ ■ = b n = 0, 

 da cui, per le (5), e = c x = ••. = <?„ = 0. 



Può invece esistere uno sviluppo (7) in cui la caratteristica di c„ sia 

 nulla. In tal caso, x = cadendo al contorno del campo di convergenza 

 di (7), può b essere differente da zero, e siccome è ammissibile in (7) la 

 presenza di un moltiplicatore arbitrario costante, si può supporre senza 

 restrizione b = 1 , da cui c n = ( — 1 )". 



Si giunge così alla serie 



~o \ n } 



Ora questa rappresenta effettivamente lo zero per ogni K (x) > : ciò 

 risulta dalla nota forinola (') 



1 1 x — l jx—l) (x — 2) 



x-V~ y-l (y — l)(y-2) (//-l)(y-2)(.y-3) 



valida per R (x) ^> E, (y) ; facendovi y = 0, se ne deduce 



M*)=i-*+(*)-(*)+--=o. 



Dato un numero positivo k, cerchiamo finalmente se possa esistere uno 

 sviluppo dello zero dato da una serie (7) in cui k sia la caratteristica del 

 sistema c n dei coefficienti. Sia m — 1 il massimo intero contenuto in k ; i 

 punti x = 0, 1, . . . m — 1 non apparterranno allora al campo di convergenza 

 della (7), e quindi si potranno fissare arbitrariamente le b , b u . . . b m - x , 

 mentre saranno nulle le b„ per n j^. m. Ne viene dalle (5), 



c n = (- 1)" (bo - n h + b 2 -■■■ + (- 1)™-' ( m n _ x ) b m - x ) . 



La serie (7) formata con questi coefficienti essendo una combinazione 

 lineare a coefficienti costanti delle m serie 



(r = 0,l m— 1), 



dove i coefficienti hanno per caratteristica r, ne viene che k deve essere 

 uguale precisamente ad m — 1, cioè ad un numero intero. Di più, si verifica 

 che ognuna delle serie ov (x) rappresenta effettivamente lo zero per U(x)^>r, 



(') V. p. es. Bendixson, Mem. cit., pag. 7. 



Rendiconti. 1902, Voi. XI. 1° Sem. 54 



