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poiché si ha immediatamente 



Esistono dunque, per ogni intero m — 1 , infinite serie (7) convergenti uni- 

 formemente ed assolutamente e rappresentanti lo zero per ogni R (x) > m — 1 ; 

 queste serie sono combinazioni lineari 



(9) b ff (x) + b y a Y (<p) -j- • • • -f- b m -i <r m -i {%) , 



a coefficienti b , b x , . . . arbitrari, delle serie (8). 



Non può esistere uno sviluppo dello zero avente R (x) > m — 1 per 



campo di convergenza che non sia della forma (9); abbiasi infatti un tale 

 sviluppo 



'o + n c\ -f- e '2 + ' " ' + c 'n = 9 per n >. m ; 



deve essere intanto 

 c 



posto poi 



b' = c\ , b\ = c' -f- c\ , ... ò'mr-i = e' a -\- m c'i + 1 2 \ c 2 H + c' m -i , 



si vede subito che la serie 



b'o ff„ {so) — b\ Ci («) + ••• + (— l) m_1 &'m-i (#) 



coincide colla e (#) in tutti i suoi coefficienti. 



Risulta da quanto precede che se una funzione ip (x) ammette uno svi- 

 luppo s(x) in serie di fattoriali col campo di convergenza R(x)^>a, essa 

 non ne ammette altri convergenti in quel campo se è a<CO, mentre se è 

 a >. 9 , essa ammette nel campo medesimo lo sviluppo più generale 



(19) Si (x) = s (x) -f- b tf (x) -f ■(«) + ■• ■ (*), 



essendo w — 1 il massimo intero contenuto in a ; e se m' è un intero mag- 

 giore di m — 1 , ammette nel campo R (x) ^> to' lo sviluppo 



s 2 (a?) == Si (#) -j- b m a m (x) -f- b m+l <f m +\ {x) -f- • • + è M r tf M r (a?) : 



le b , , . . . essendo costanti arbitrarie. 



Infine, se una funzione uniforme un ramo uniforme di funzione xp (x) 

 ha significato per tutto il semipiano R (x) -> 9 , ma è rappresentata da una 



(') Per i punti 0, 1 , ... r — 1 ,r posti fuori al contorno del campo di convergenza 

 la à r (x) ha rispettivamente i valori 0,0,... 0,( — l) r . 



