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serie s (x) di fattoriali solo nel campo R (x) > a > , si potrà, conside- 

 rando la serie (10) s x (x) più generale che rappresenta la funzione stessa in 

 quel campo, giovarsi dell' indeterminazione delle costanti b , b x , ... b m - x , 

 per fare in modo che i valori assunti da s } (x) nei punti 0,1,...»» — 1 , 

 sebbene fuori del campo di convergenza della Si (x) stessa, coincidano coi 

 valori xp (0) , ip (1) , . . . ip (m — 1) della funzione; basta evidentemente fare 



b r = (— l) r (ip(r) — $(r)) , r = 0, 1 , 2, ... m — 1 . 

 4. Accanto ad ima serie di fattoriali 



si consideri la serie di potenze <p (t) di t~ l , formata colla stessa succes- 

 sione di coefficienti, in modo che a f- (n+1) sia dato il coefficiente di ( I. 



La successione c n avendo per caratteristica un numero k che non è l' infi- 

 nito positivo, la serie cp (l) convergerà fuori di un cerchio t = e di raggio 

 generalmente uguale all' unità, ma che nel caso di k = — oo potrà anche 

 essere minore. Diremo che la serie q(t) ammette la caratteristica k. 



Fra le due serie s(x), <p(t), si viene in tal modo a stabilire una cor- 

 rispondenza che si indicherà mediante la scrittura 



dove il simbolo A sta a rappresentare un' operazione, manifestamente distri- 

 butiva, che può venire applicata formalmente ad ogni serie di potenze di t~ l 



ed il cui risultato ha significato, se la caratteristica di c n è k, per 

 R (x) > k . Si aggiungerà l' ipotesi che l' operazione A dia come risultato lo 

 zero qualora venga applicata ad una potenza intera positiva o nulla di t. 



Per 1' operazione A si verificano immediatamente le due seguenti pro- 

 prietà : 



Se (j> (t) è la derivata di (p(t), si ha, per R (x) > k -4- 1 : 



s(x) = A(<t(t)), 



(11) 



A- (<f') = — xs(x — 1 ) ; 



si ha inoltre: 

 (12) 



A ((1 + »(0)« «(* + !) ■ 



5. Si tratta ora di dare un' espressione analitica effettiva per l' ope- 

 razione A. Cominceremo coli' esaminare il caso di k<C — 1, in cui l'espres- 

 sione di A si troverà senza difficoltà. Infatti, in questo caso, <p{t) è assolu- 



