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tamente ed uniformemente convergente lungo la circonferenza di centro 

 t == e di raggio 1; pertanto nell'integrale 



(13) 2^X) 9)W(1 + /)a; ^ , R(tr)> °' 



esteso a questa circonferenza, l' integrazione si può eseguire termine a ter- 

 mine e come risultato si ottiene immediatamente la serie s (x). Onde : 



Per le serie q>(t) aventi una caratteristica minore di — 1, 

 l' operazione A (9) è, per E (x) ^> , rappresentata dal V inte- 

 grale definito (13). 



La (13), applicata ad una potenza intera positiva nulla di t, dà 

 zero come risultato. 



Le serie. (p(t) per le quali si realizza in tal modo 1' operazione A, for- 

 mano un insieme lineare, cui si può aggiungere un numero arbitrario di 

 potenze intere positive di t , ed anche una serie di potenze intere positive 

 di t purché convergente in un cerchio di centro t = e di raggio maggiore 

 d' uno. Per queste serie (p(t), si verifica immediatamente che l' operazione A, 

 espressa per R (x) > da 



(14) k(cp)=^~rj^<p(t)(l-\-trdt, 



soddisfa alle relazioni (11) e (12), la prima sotto la condizione R(x)^>l, 

 la seconda per R (x) ^> . 



6. Conviene ora ricercare se, anche per il caso in cui sia k > — 1, 

 sia possibile una rappresentazione analitica per l'operazione A. A tale uopo 

 ci servirà un principio che, sebbene abbia già trovate numerose applicazioni 

 in vari campi dell'analisi, non pare sia stato ancora enunciato nella sua 

 generalità. Questo principio è il seguente: 



Siano A, K due operazioni univocamente definite per gli elementi di 

 un insieme C; sia G la trasformata di K mediante A. Se <p appartiene a C, 

 e vi appartiene anche K (y), si avrà per definizione 



AK (<jp) = GA (<p), 



onde 



(15) G _1 AK = A . 



Supponiamo ora che y> appartenga ad un campo C che comprende C, 

 ma non necessariamente a C stesso; che K sia applicabile a e che K ((/>) 

 appartenga a C. Sotto questa ipotesi, il primo membro della (15) si potrà 

 assumere come definizione dell'operazione A per gli elementi 

 dell' insieme più esteso C, e si verificherà in generale che l' operazione A, 

 così estesa, mantiene nel nuovo campo le sue proprietà formali. 



