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Il principio ora enunciato è quello che viene applicato in sostanza nella 

 continuazione analitica secondo il Weierstrass ; nel classico teorema di Mit- 

 tag-Leffler per la costruzione di una funzione uniforme con date singolarità ; 

 nella sommabilità delle serie secondo il Borei e nei vari tentativi fatti per 

 l' interpretazione delle serie divergenti ; noli' integrazione finita, data dal 

 Guichard, di una funzione trascendente intera, ecc. Di questo principio ci 

 gioveremo ora per ottenere 1' espressione analitica dell' operazione A per tutte 

 le serie <p (t) appartenenti a caratteristica finita. 

 7. Da ogni serie di potenze di l~ l 



si può dedurre la serie 



CO p 



<P (0 = 2_ /n+l 



n=0 



C 



K m (sp) = (- {ll+ i HH + 2 )...(a + m) V 



questa deduzione è fatta mediante un' operazione distributiva che diremo 

 K m , la quale non è altro che la D _m ^— y> , dove D è il simbolo di deri- 

 vazione, quando si facciano nulle le costanti introdotte dall' integrazione. 

 L' operazione K m ha evidentemente la proprietà di diminuire di m unità la 

 caratteristica cui appartiene y> ; se <p ha la caratteristica k, K m (<p) avrà la 

 caratteristica k — m. 



Sia (p una tale serie di potenze che le sia applicabile 1' operazione A 

 definita al § 4 ; essa operazione sarà a fortiori applicabile alla serie K m (<p) : 

 si vuole vedere quale sia la trasformata di K,„ mediante A. Usando, a questo 

 uopo, i soliti simboli del calcolo delle differenze finite J e ('), si deduce 

 dalla proprietà (12) della A, che se k((f) = s(x), sarà: 



A (ttp (0) = J »{x) , A (r 1 <p{t)) = J- 1 s(x) , 

 e dalla (11), che 



AD" 1 <p(t) = — — — 6 s {co) . 



tC j 1 



Ne viene 



AD-"(^ - {x+1) J~ ^ {x + - } »* *~ 



e quindi la trasformata Gr M di K m mediante A è 



( — l) m 



a — tì m A~ m 



+ + 2) ...{*+«») a ' 



(') à i/» (x) = \fj (x -f - 1) — tp (x) ; tp (x) = ìp(x-\-l); J- 1 è l'operazione d'integra- 

 zione finita, o inversa di J. 



