onde 



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G- 1 = (— l) ,n J m x (x — 1) ... (x — m -f- 1) 0~ m . 

 Con ciò, la (15) ci dà 



(16) A = (— 1 ) m J m x {x — 1) ... (x ' — m -j- 1) 6- m AK TO . 



Ora, se <p (t) è una serie di caratteristica minore di — 1 , le si può 

 applicare, per E, (x) ^> , 1' operazione A rappresentata dall' integrale defi- 

 nito (14), e la (16) non è altro che una semplice identità. Invece, se y>(t) 

 ha una caratteristica k >. — 1 , sia m — 2 il massimo intero contenuto in 

 k; la serie K TO (y>) avrà per caratteristica un numero minore di — 1 e le 

 sarà quindi applicabile per E (x) ^> 1' operazione A sotto forma d' integrale 

 definito, ottenendosi 



da cui 



QO 



( — 1 ) m x(x—l)... (x — m -f 1) ti- m AK M = X 9n 



e infine, poiché J 



(— l) m J m x (x — 1) ... \x — m-\- 1) 0- M AK m = X 



L'operazione A definita dalla (16), cioè data, per R (^r) >> m, da 



(17) A(<?) = ^^^-l)...(^-m + l) £ W£fW)fl+^*. 



coincide dunque coli' operazione A definita in principio del 

 § 4 per ogni serie cp (t) avente caratteristica k finita, e 

 quindi per ogni tale serie l'operazione A ivi definita am- 

 mette l'espressione analitica (17), dove m è il massimo intero 

 contenuto in k aumentato di 2, se è k > — 1, ed è zero se è k <C — 1. 



In questo modo, ad ogni serie di fattoriali s(x) della prima o della 

 seconda classe corrisponde una funzione analitica (f>(t) regolare nell'intorno 

 di t = oo , che si costruisce immediatamente e mediante la quale si ha 

 l'espressione analitica (17) della s(x). 



È facile vedere che a y> (i) = (1 -j- t)~ m per un intero positivo, la (17) 

 fa corrispondere gli sviluppi dello zero già ottenuto per altra via al § 3. 



Ad ogni proprietà di carattere lineare della g>(t), le relazioni (11) e 

 (12) cui soddisfa l' operazione A fanno corrispondere proprietà pure di ca- 

 rattere lineare per la s(x). Di questa corrispondenza, della sua applicazione 

 alle equazioni alle differenze, come pure del significato da attribuire alle 

 serie s(x) della terza classe, tratterò in una prossima Nota. 



