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Per ottenere 6» converrà riferirsi a coordinate polari, assumendo 



x = r cos w , y = r sen co , 



ed in conseguenza 



dx = cos co dr — r sen co dco , = sen co dr -j- f cos co c2oo ; 



per cui si avrà 



(14) = K jr k - 1 Jsen (a + fa») -f- r cos (a + fa») dm\ . 



8. Supponiamo dapprima k=^0. Eseguendo la quadratura nella (14) 

 abbiamo 



rr 



6 = — r k sen (a -f- fa») ; 



/£ 



l' equazione delle traiettorie tì = cost. diventa dunque 



(15) r k sen (a -j- fa») = 6 , 



dove a e b sono costanti arbitrarie (cioè variano da una traiettoria all' altra), 

 mentre k è fìssa per tutte queste curve, potendo però avere un valore qua- 

 lunque diverso da zero. 



Accanto all'equazione (15) delle traiettorie scriviamo anche le espres- 

 sioni della funzione potenziale e della forza, sostituendo, mediante le (13), 

 la costante k a c: 



u = Cr 2(ft-« ) F = 2C(/c — l)r 2,t - 3 . 



Per avere infine il tempo si ricorrerà all' integrale delle forze vive 



{%'+{%)'-«'• 



che si scrive, nel caso attuale, 



dt* 



Questa equazione si può trasformare, mediante la (15), in una relazione fra 

 dt , da), co, oppure fra dt, dr, r, e così si ottiene il tempo con una sola 

 quadratura dall' una o dall' altra delle seguenti due forinole : 



, , mdco „ nr dr 



dt 



sen ( a -f- fa>)( * j/^* ^ 



dove m e n contengono la costante arbitraria b. 



Suppongasi, ad es., k = \; la funzione potenziale diventa 



a 



Rendiconti. 1902, Voi. XI, 1° Sem. 55 



