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Le linee seguenti hanno per oggetto di far conoscere un caso partico- 

 lare di queste deformazioni, notevole per la sua semplicità. Esso viene dato 

 dal teorema : Se una superficie di rotazione si fa rotolare sopra una qua- 

 lunque superficie applicabile ('), l'asse della superficie descrive sempre 

 una congruenza normale. 



Dimostriamo il teorema colle considerazioni geometriche seguenti. Es- 

 sendo S una superfìcie di rotazione e 2 una superficie qualunque applicabile 

 sopra S, partiamo dall'osservazione evidente che l'asse di S passa pel centro 

 di curvatura geodetica di ogni parallelo e giace nel piano normale al paral- 

 lelo stesso. Considerando dunque S a contatto con 2 in un punto qualunque M, 

 l'asse di S passerà pel centro M' di curvatura geodetica della trasformata 

 del parallelo e giacerà nel piano condotto pel raggio MM' normalmente al 

 piano tangente di 2. Ora il punto M' descrive la superficie 2' complemen- 

 tare di 2 rispetto alle geodetiche deformate dei meridiani e il detto piano, 

 normale al piano tangente di 2, non è altro che il piano tangente in W 

 alla 2'. Dunque l'asse della S è tangente in M' alla 2'. Ora se indichiamo con 



ds* = da 1 -J- r 2 dp (r — f(a) ) 



l'elemento lineare di S (o di 2), riferito ai meridiani ed ai paralleli (a), 

 l'angolo a d'inclinazione dell'asse di S sul raggio MM' (tangente al meri- 

 diano) è dato da 



dr 



sen e = — . 



da 



D'altronde, per la formola che lega l'elemento lineare della complementare 2' 

 a quello di 2 (-), si sa che la 2' è applicabile essa stessa sopra una su- 

 perfìcie di rotazione e il raggio q del parallelo di questa superfìcie è dato da 



a 



Q== dr' 

 da 



essendo a una costante ; ne risulta : 



(1) q sen g = a. 



Ma poiché e è l'angolo che i detti assi, tangenti a 2', formano colle 

 deformate dei meridiani, la (1) ci dimostra (pel teorema di Clairaut) che 



(') Quando due superficie S , S' sono applicabili, diciamo che S rotola sopra S' se, 

 tenendo fissa S', si fa acquistare ad S una doppia infinità di posizioni, portando ogni 

 volta un punto P di S a coincidere col corrispondente P' di S', in guisa che i piani tan- 

 genti in P , P' coincidano e si sovrappongano gli elementi lineari corrispondenti degli 

 intorni. 



f z ) Vedi le mie Lezioni di geometria differenziale (seconda edizione, I, pag. 296). 



