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queste tangenti inviluppano sopra 2' un sistema di geodetiche, e per ciò la 

 congruenza C è una congruenza normale, c. d. d. 



Di più, la costante a di Clairaut nella (1) rimanendo fìssa, vediamo che 

 le geodetiche inviluppate dagli assi sono incontrate da un medesimo paral- 

 lelo tutte sotto lo stesso angolo, cioè quando la 2' è conformata a superfìcie 

 di rotazione esse sono tutte congruenti fra loro. Il teorema superiore risulta 

 quindi completato dal seguente : 



La congruenza normale descritta dall'asse di una superficie di ro- 

 tazione S, che rotola sopra una superficie applicabile 2, ammette per una 

 falda della superficie focale la superficie complementare 2' di 2, e con- 

 formando 2' a superficie di rotazione le geodetiche inviluppate sopra 2' 

 dagli assi risultano congruenti fra loro. 



2. Esaminiamo ora le superfìcie <P ortogonali agli assi. Riferiamo per 

 ciò dapprima la 2' ai meridiani e paralleli, e sia 



ds 2 = dee -|- r- dfi 2 



il suo elemento lineare. Cangiamo linee coordinate prendendo per linee (v) 

 un sistema di geodetiche congruenti, corrispondenti al valore a della costante 

 di Clairaut, e per linee (u) le loro traiettorie ortogonali, essendo u l'arco 

 delle geodetiche (v) contato da una traiettoria ortogonale fissa. Per le note 

 forinole relative alle geodetiche sulle superficie di rotazione potremo 

 prendere 



t/V — a 2 , 

 1 da 



] p da 



f * = -^ + " 2 j r 7^z: 



indi 



rda 



i rua 



< 2 > u+v = )W=* 



Se ne trae 



ds 2 = du 2 ~\- ^ — ljdv 



e per la (2) sarà — — 1 una certa funzione di u-\-v, che indicheremo 

 con f 2 (u -J- v), Si avrà perciò 

 (3) ds 2 = du 2 + f\u + v) dv 2 , 



dove la forma della funzione f dipenderà dalla forma della superficie di ro- 

 tazione e dal valore della costante a. 



(') Vedi Lezioni ecc., I, pag. 208. 



