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Le superficie d> che dobbiamo considerare sono le evolventi della 2', 

 d' elemento lineare (3), rispetto alle geodetiche (y), cioè le superficie orto- 

 gonali alle tangenti di queste geodetiche. Indicando con r l ,r 2 i raggi prin- 

 cipali di curvatura della £>, si ha 



f(u + v) 



r 2 -u, r,-r 2 -- ft{u _^_ vy 



onde segue il teorema: Le superficie <P ortogonali agli assi della super- 

 ficie di rotazione S hanno i raggi principali di curvatura legati da una 

 relazione della forma 



— r 2 ) + r 2 = v, 



dove </' è una funzione dipendente dalla forma di Seve il parametro 

 delle linee di curvatura di un sistema sopra cP. 



3. Come esempio si prenda per S il paraboloide di rotazione. La su- 

 perficie complementare 2' ha l'elemento lineare 



ds 2 = du 2 -j- 2(u -J- v) dv 2 , 



le geodetiche (v) essendo in questo caso tangenti al parallelo minimo di T. 

 Qui abbiamo 



r 2 — u, r 2 — r x = 2u-\-2v 



e quindi 



r x -4- r 2 = — 2v. 



Dunque: se si fa rotolare il paraboloide di rotazione sopra una super- 

 ficie applicabile, le superficie normali alla congruenza descritta dall'asse 

 hanno costante la somma dei raggi principali di curvatura lungo le linee 

 di curvatura di un sistema. 



Le deformate del paraboloide di rotazione essendo tutte note, conosciamo 

 così, in termini finiti, una classe di superficie <t> dotate della proprietà enun- 

 ciata. Terminiamo coll'osservare che alla considerazione delle superficie <P 

 per le quali è costante la somma dei raggi principali di curvatura lungo 

 le linee di curvatura di un sistema si è condotti in generale dall'esame 

 della questione seguente: quando accade che ad ogni sistema coniugato 

 sopra una falda dell'evoluta di una superficie <P corrisponde nell'imma- 

 gine sferica della congruenza delle normali di <P un sistema ortogonale ? 



Per ciò è appunto necessario e sufficiente che la superficie £> appar- 

 tenga alla classe superiore. Allora la corrispondente falda dell'evoluta ha 

 l'elemento lineare tipico 



(4) ds 2 = du 2 + 2 [m + g>(v)2 dv 2 , 



che figura nelle ultime ricerche di Weingarten sull'applicabilità ( 1 ). Vice- 

 versa le tangenti alle geodetiche (v) in una superficie d' elemento lineare (4) 

 formano una congruenza che, flettendo comunque la superficie di partenza, 

 gode sempre della proprietà descritta. 

 (») Darboux, LefOiis, t. IV, pag. 323. 



