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tra loro ; allora io dico che : La condizione necessaria e sufficiente affinchè 

 le (1), (2) abbiano soluzioni comuni è che sia soddisfatta l'equazione: 



(3) £) 2 <p = 0. 



È intanto facile vedere che questa condizione è necessaria. 

 Infatti si ha, dalla (1): 



-C 2 <- 1 3 -4/2 ^ -L 1 -L 2 ^ 



onde, per la (2): 



T 2 <I> = 0, 



come si era asserito. 



2. Mostriamo ora che quella condizione è pure sufficiente. 



Prendiamo perciò le derivate parziali successive dei primi n — 1 ordini 

 della (1) e dei primi m — 1 ordini della (2); otteniamo così le equazioni: 



(A + A<n — 1) 



» ~yi+j-i-m— 1 « 



y..a'n- — ri ni — , (h-\-k = m — 1); 



ponendo, per brevità: 



-jm+n— l 

 ^ TV/ 5 



= ^ éi > (/• + «< m + «— 1) 



-y/n+«— ì - 



gV,s = — t: — , (r + « = w + n — 1) 



possiamo scrivere: 



n 



(5) ^ i ,a r ijPi+h,j+* = , (A-j-/c<m — 1) 



% 7)''-+-''' <p 



ri m—i -\n— 1 (p 



(6) Vy «y SPi+*,j+* + 2l y jfc**, = t^V 1 ' ^ + A' = « — 1 ) 



vi—i 



( 7 ) X'« a 'y 9P*+*J+*+ ]L u a 'ijPi+h,j+h = , (A -f /c == m — 1) . 



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