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Le equazioni (6), (7) sono a -\- m in tutto, onde supposto diverso da 

 zero il determinante A formato coi coefficienti delle funzioni </) , esse deter- 

 minano le m -j— n funzioni cp in funzione delle p. 



3. Ciò posto, è chiaro che basta determinare le p r , s in modo che siano 

 soddisfatte le equazioni ai differenziali totali: 



(q\ ( dp r , s = p r -i-i, s dx-\- p r ,s+idy , (r-f-s<w-f-rc — 2) 

 ( dpr,$ = SPr+M da 4- <Pr, s +i dy , (r -\- s — m -f- n — 2) . 



Indichiamo poi con / una funzione di x , y e delle (queste quan- 

 tità essendo ora riguardate come variabili indipendenti) e consideriamo le 

 equazioni : 



m+n— 3 m-t-n— 2 







(9) 



m+n— 3 m+n— 2 



vi) —r rs <>Prs — rs Jprs 



' 



Allora, in virtù di una nota proprietà, affinchè il sistema (8) sia inte- 

 grabile è necessario e sufficiente che il sistema (9) sia Jacobiano, cioè che 

 sia identicamente: 



X(Y/)-Y(Xf) = 0; 



ora si ha 



m+n— 3 m+n— 2 



X(Y/)-Y(X/)= V (Xp r , s+1 -Yp r+Ì , s )^ + y (Xc^-Ycjwm)^ 



——rs op,-s rs OVrs 



1 o 



e poiché dalle (9) si deduce: Xp rtS+l — p r +hs+i = Yp r+hs , ne viene che 

 dovrà essere identicamente : 



(10) Xg> r>s+1 — Ygv+ llS = , (r-J- s = m + « — 2) . 



Queste equazioni sono in tutto m-\-n — 1; giova però notare che esse non 

 sono tutte indipendenti, perchè ora mostreremo che se è soddisfatta una di 

 esse, lo saranno pure tutte le altre. 



Infatti prendendo TX e 1' Y di ambo i membri delle (6), (7) otteniamo: 



m ^ m-ì m—2 ^ 



(6') X a a v X( fi+h,j+n + T ' ctij g>i +h+1 , j+ H + Y aiJ Pi+h+uj+K = s , 



o o o <■'<" vy 



{h + k = n— 1) 



m— l m—2 



(6") X y fl y Y^i+ftj+ft + X « °y sp*'+>.j+*+i + X fl y .Pi+w+a+i 



(A + A = « — 1) 



