— 517 — 



Ora osserviamo che se nelle (7') al posto di h si legge h — 1 , e poi 

 si permutano h , k con i , j si ha : 



n n—l n— 2 



^_ hkCt'hk X^j+A-ij+Zi -j~ hk a ' hk f'+M+ft ~H ^Lw- a 'hhpi-i-h,j+ìi ~ , 







(i= 1 . 2 , ... , m ; ì-j r j = m); 



e dall' ultima delle (7") (cioè quella corrispondente ad h = 0) permutando 

 /ì , /i' con i , j si ottiene : 



« n—l n—2 



— ftft Y</\»i+S-i ~f" 2_ ftft a 'ftft SPft.m+fc 4~ Ph,m+k = . 



o o o 



Sostituendo nella (11) e riducendo, si deduce: 



m— l 



(12) ^'«"^ft a m-k,k (^(f'm+h-^n+it Y<jp m _ft jnH -jj_i) -j- 



o 



n-l 



-f- «om T^ 7i &'n-H,k (X-(p n -ft-i,m->-k — ~Y <f n-k,m+k-\) = ©2 • 

 o 



Ora, se le (10) sono soddisfatte, le quantità entro le (...) sono nulle e 

 così otteniamo la (3). Inversamente, se la (3) è soddisfatta, l'equazione pre- 

 cedente unita alle (6J, (7j) dà un sistema di m-\-n — 1 equazioni, lineari 

 ed omogenee fra le m-\-n — 1 incognite X$p r , s+1 — Y<f r+l , s , e siccome è 

 facile vedere che il determinante dei coefficienti, ameno del segno, vale A, 

 il quale è stato supposto diverso da zero, si conclude che devono necessa- 

 riamente esser nulle tutte le incognite; e così otteniamo le (10), come ave- 

 vamo asserito. 



In tal modo il nostro teorema è completamente dimostrato. 



Abbiamo supposto che il determinante A fosse diverso da zero; però 

 il teorema, in generale, continua ancora a sussistere anche se A = . 



5. Supponiamo ora che le espressioni Di , D 2 non siano prime tra loro ; 

 sia cioè: 



2), = y £) , 2) 2 = £>" © , 



ove £)' , £)" sono espressioni prime tra loro. 

 Le (1), (2) diventano allora: 



(1') ®'^ = <P , £)" 35s = 0; 



orbene la condizione necessaria e sufficiente affinchè le equazioni prece- 

 denti abbiano soluzioni comuni è che sia soddisfatta l'equazione: 



£)" <2> = . * 



Infatti, posto Z = T<z, le equazioni (1') possono scriversi: 

 £' Z = tf> , D" Z i.= , 



