— 518 — 



e applicando il teorema del § 1 a queste due equazioni, si conclude la 

 proposizione enunciata. 



6. Vediamo alcune applicazioni del teorema del § 1. 



Indichiamo con 35 un'espressione lineare analoga a 3>V, e con u(x, y) 

 una funzione di x , y , e calcoliamo D(xu) ; è chiaro che si avrà un risul- 

 tato della forma: 



T)(xu) = X £>W -\- Q X U , 



X) x essendo un'espressione lineare di un tipo analogo a 35 ( 1 ). 

 Se la funzione u soddisfa all'equazione 35w = , si trae: 



£ì%xu) = . 



Se v(x,y) è una funzione che verifica l'equazione 35y = 0, e si pone: 



(13) U = a? k + v , 



si ha 35 2 U = 0. 



Supponiamo ora che le espressioni 35 , siano prime tra loro, allora si 

 può dimostrare che : Ogni funzione U che soddisfa all'equazione 35 2 U = 

 può rappresentarsi colla (13). 



È chiaro che basta per ciò dimostrare che, data la funzione U, si può 

 sempre determinare una funzione u che soddisfa alle equazioni : 



25(U — Xtt) = , == , 



ossia, posto <P == 35 U : 



q xU = a> , 35w = o . 



Dall' espressione di <P risulta 35(P = ; quindi pel teorema del § 1 

 possiamo affermare che esiste sempre la funzione u, e così il teorema è di- 

 mostrato. 



Supponendo sempre 35, 3^ prime tra loro, si può dimostrare che ogni 

 funzione U che soddisfa air equazione 35 p U = può rappresentarsi colla 

 formola : 



U == x p ~ l Ui -J- x p ~ 2 Uì -j- ••• -j- .^Wp-! -j- w p , 

 le u essendo funzioni che soddisfanno all'equazione 3) = ( 2 ). 



(») Se 3) =y r — f ì : , si ha 35 „ = Vfl« t'r^— tt— • » cioè ©_ non è altro 

 ^— Da; 1 D^ ^— J Da; 1 - 1 D^ 



che la derivata funzionale, rispetto ad x, dell'espressione 35. 



( 2 ) Se l'equazione = si riduce all'equazione di Laplace ^ 2 = 0, questo teorema 



è del prof. Almansi. Cfr. Almansi, SuW integrazione dell'equazione differenziale J° n = 



(Annali di Matematica; serie III, t. II, a. 1898). 



