— 525 — 



Kipetendo lo stesso ragionamento per tutte le componenti, sviluppando 

 cos fa (t — tì), e ponendo 



(22) Pi = (a — b/$) a t sen fa t, ) ■. = 1 g ^ § 

 qi — (a — ai cos j ' ' '" 



avremo infine una equazione differenziale della forma 



s s_ 



(23) Y pi sen kit + ^_ Qi cos fa t -f- e" -f A«' -f Bf = . 



i i 



È facile provare che essa può essere soddisfatta dalla funzione 



s s 



Si = ^_ mi sen fa t -f- y «j cos A'; £ : 

 i i 



infatti sostituendo nella (23) ad f e alle sue derivate questa espressione 

 di Si e delle sue derivate, e raccogliendo i termini simili, si trova che la 

 somma risultante è identicamente nulla se sono soddisfatte le seguenti con- 

 dizioni necessarie e sufficienti : 



, 9 a\ mi(B — Ai) — m kfa + Pi = ) 



K ** } mi kfa + m (B - ?® + qi = o y l ~ ' ' - Sh 



Il determinante dei coefficienti di questo sistema di 2s equazioni a 2s inco- 

 gnite è un prodotto di s fattori della forma 



(W) Ji = (kfay-\-(B-k*y; 



e poiché nessuno dei fattori è identicamente nullo ('), il sistema stesso am- 

 mette una soluzione unica e determinata : 



(24,) mi = — V ' ^ B ~ k ^ ^ Qi kki ■ Hi = Pi kki ~ 9i ^ B ~ ^ . 



Ji Ji 



Dunque la funzione è un integrale della (23). Ma essa è soddisfatta 

 anche dalla funzione 



e = f, + e" 1 (P sen Kt -f Q cos Kt) = *, + / : 



infatti per tal valore di s il primo membro della (23) diventa 



sen fa t + qi cos fa t) + e[' + Ae[ + BeJ + [f' + kf -f B/] ; 

 e mentre la prima di queste due somme si annulla per ciò che fu dimostrato 



(') Infatti Ai è somma di due quantità positive o nulle; ma mentre può annullarsi 

 (B — k t '), i fattori A e A; sono sempre diversi da zero; perchè per le (Z) è 

 2 ri 



A= — 2R— — hige h , e ki= — ; ora r e T, sono quantità finite, k è >1; quindi 

 Ahi non si annulla mai. 



