di rotolamento. In pari tempo stabiliremo qui nuovamente le proprietà fon- 

 damentali di queste congruenze, per una via alquanto diversa da quella 

 seguita nella Memoria. 



2. Al nostro studio sulla deformazione delle congruenze occorre premet- 

 tere la risoluzione di un problema, già in sostanza contenuta in una Me- 

 moria di Ribaucour ('), ma che qui conviene riprendere seguendo i concetti 

 introdotti da S. Lie ( 2 ) nella geometria infinitesimale. 



Chiamiamo elemento piano o faccetta f V insieme di un punto P e 

 di un piano n incidenti, o più propriamente un intorno infinitesimo del 

 punto P (centro di f) sul piano n. Consideriamo una superficie S come la 

 totalità delle sue oo 2 faccette f, ed insieme un'altra superficie S' corrispon- 

 dente punto per punto alla S , sicché ad ogni faccetta /' di S corrisponderà 

 una determinata faccetta f di S'. Ora immaginiamo di deformare comunque 

 per flessione la S , e che ogni sua faccetta f trasporti seco, in sistema in- 

 variabile, la corrispondente faccetta f. In generale accadrà che, dopo la 

 deformazione, le oo 2 faccette /' cesseranno di costituire una superficie; ora 

 noi domandiamo di trovare tutti i casi nei quali, dopo qualunque defor- 

 mazione della S, le oo 2 faccette trasformate f costituiscono sempre una 

 superficie. 



Dimostreremo che ciò avviene in due soli casi, e cioè: 



a) quando ogni faccetta f è normale alla congiungente il suo 

 centro F' col centro P della faccetta corrispondente f (caso di Beltrami) ; 



b) quando i piani n , n' di due faccette qualunque corrispondenti 

 f,f, sono fra loro ortogonali, e inoltre il centro P' della f giace sul 

 piano ti della f (caso di Ribaucour). 



Per provare queste asserzioni, cominciamo dal riferire la superficie S, 

 in una qualunque delle sue configurazioni, ad un sistema (u , v) di coordi- 

 nate curvilinee qualsivoglia. Mantenendo le consuete notazioni della teoria 

 generale, indichiamo con x' , y' , 2' le coordinate del centro P' della fac- 

 cetta f\ corrispondente alla faccetta f=(u,v) della S, e con X',Y',Z' 

 i coseni di direzione della normale al piano 71' della f. Per esprimere che 

 la f è invariabilmente legata alla /', in qualunque deformazione della S, 

 basterà scrivere x' , y , 2' ; X' , T' , Z' sotto la forma 



x' — x -j- / — -j- m 



>u 



(1) 



(') Ved. Mémoire sur la théorie générale des surfaces courbes (Journal de mathém., 

 4ème s ério, toni. VII, 1891), d. 92. 



(•) Cfr. le mie Lenoni, voi. Ili, § 39. 



