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Introducendo nelle (3) per X' .T',Z' i valori (2), e per — , — i va- 

 lori (4), otteniamo le due relazioni seguenti : 



/ (nX — vi) I) -f (nfi — vm) D' = 



(6) 



= A(EL -f FM) 4- /t(FL -f- GM) + v ^~ , 



(nX — vi) D' + (nfi — vm) D" = 



= A(BP + FQ) + fi(FY + GQj + f ? 1 



nelle quali i secondi membri sono indipendenti dalle flessioni, meutre i primi 

 contengono linearmente i coefficienti D , D' . D" che rissano la configurazione 

 di S. Ora, affinchè le (6) si verifichino in tutte le deformazioni, come è 

 supposto, occorre che le (6) risultino identità ( ] ), ed avremo quindi neces- 

 sariamente 



(7) nX = vi , nfi = vm . 



Viceversa, se sussistono queste due equazioni, ed in una particolare 

 configurazione di S le oo 2 faccette f costituiscono una superfìcie, ciò avverrà 

 in tutte le altre deformazioni, poiché si annulleranno nelle (6) anche i se- 

 condi membri. Ora le (7) portano a distinguere due casi, secondo che v è 

 diverso da zero, oppure zero. 



1° caso : v ^= 0. Possiamo scrivere 



X fi 



l = n- , m = ti — , 



V V 



onde abbiamo 



' ^vj ' n vr j , n yr . 



x — x — -K . y — y — - 1 . s — 3 = - L , 

 v v v 



queste esprimono che le faccette f sono normali alle congiungenti FF' dei 

 centri delle faccette corrispondenti, il che è appunto il caso a) di Beltrami. 

 2° caso : v = 0. Qui abbiamo 



X' X + Y' Y + Z' Z = , 



cioè i piani delle faccette corrispondenti sono normali fra loro. Ma inoltre 

 dalle (7), non potendo essere insieme X = fx = 0, segue che necessariamente 

 n = 0, vale a dire il centro F' di f giace sul piano n di f, cioè sul piano 

 tangente delle superfìcie S; ci troviamo dunque nel caso b) di Ribaucour. 

 La proposizione enunciata è così stabilita. 



(>) Cfr. Lezioni, voi. III. § 254. 



