3. Supponiamo, ora, che a ciascuna faccetta f della superfìcie S, fles 

 sibile ed inestendibile, sia coordinato un corrispondente raggio r di una 

 congruenza (r) ; e mentre la S si deforma per flessione, ciascuna faccetta / 

 trasporti seco invariabilmente il raggio corrispondente. In generale avverrà 

 che, al deformarsi della S [o anche, diremo, al deformarsi della congruenza 

 (F)] i due fuochi sul raggio ed i due piani focali attorno al raggio vare- 

 ranno di posizione. Ora i risultati del n. 2 permettono di rispondere su- 

 bito alla domanda: 



In quali casi avviene che per la congruenza (r), supposta a svilup- 

 pabili distinte, i due fuochi Fj , P 2 ed i due piani focali n x , resiano 

 immobili per ogni raggio in qualunque de formazione della superficie S, 

 o della congruenza (r)? 



In tal caso le due serie oo 2 di faccette f\ = (Fi , n x ) , f\ = (F 2 , 7r 2 ), 

 ciascuna costituita da un fuoco e dal relativo piano focale, restano invaria- 

 bilmente legate alla corrispondente faccetta f=(F,n) della S, e, dopo 

 qualunque deformazione, le f x costituiscono sempre la prima falda focale S! , 

 e le fi la seconda falda S 2 . Secondo il n. 2, ciascuna di queste due fac- 

 cette fi , f 2 dovrà offrire o il caso a) di Beltrami, o quello b) di Kibau- 

 cour; ma poiché i due fuochi sono distinti, uno di essi, poniamo F f , sarà 

 nel punto (r , n) ove il raggio interseca il piano tangente n di S, ed allora 

 il relativo piano focale n x sarà quello condotto per r normalmente a n . 

 Dopo ciò, il secondo fuoco F» cadrà nel piede della perpendicolare abbassata 

 da F sopra r, ed il relativo piano focale rr 2 sarà quello condotto per r 

 normalmente al piano (F , r). 



Viceversa, se i fuochi ed i piani focali, in una particolare configura- 

 zione della S . offrono la disposizione descritta, essi la conserveranno, defor- 

 mando comunque la S. Concludiamo, quindi, che la invariabilità dei fuochi 

 e dei piani focali per ogni raggio di (T) avrà luogo allora, ed allora sol- 

 tanto, che siano soddisfatte le condizioni seguenti: 



c) Ogni punto F della superficie S si trova sopra la normale nel 

 punto corrispondente ad una delle due falde focali (distinto da questo 

 punto), ed il piano tangente in F alla S passa per la normale all'altra 

 falda focale. 



4. Le condizioni c), ora rilevate, sono quelle che, nella Memoria citata, 

 assicurano trattarsi di una congruenza (r) di rotolamento. Di questa pro- 

 posizione fondamentale darò ora un'altra dimostrazione, colla quale verranno 

 a stabilirsi, per una via alquanto diversa, le proprietà delle congruenze di 

 rotolamento a sviluppabili distinte. 



Supponiamo, adunque, che ad ogni punto F della superficie S corrisponda 

 un raggio r della congruenza (r), le cui superficie focali Si , S 2 sono di- 

 stinte; la normale alla S 2 in F 2 contenga il punto F, e quella alla Si in 

 Fj giaccia nel piano tangente in F alla S. Noi proveremo, allora, che esiste 



