— 10 — 



se sostituiamo nelle (13) questi valori, e per — , — i valori (1), le (12) 

 si riducono alle due seguenti: 



i /! • 1 E4- — ) sen 2 <r -M sen cr cos <r — -4- — = — ! — m = 0, 



(13 J 



— sen* ff -4- / sen e cos e — — — — — - — m 



= 0, 



Il caso 1 = è escluso nelle nostre ipotesi, perchè con l = coinci- 

 derebbero, per le (10), (11), i fuochi F, , F 2 ; e se escludiamo il caso 

 sen a = 0, le (12) si traducono nelle due condizioni 



(II) 



* /i \ . 77 m 1 Dl/E 



— (/ sen ff) = — I E sen <r — = — * — 



~òu sen a i/q di> 



j . mi 7>fG 



— sen <r) = -= — — - • 



ìv sen a y/e }w 



Il caso sen e = ora escluso, non ha realmente interesse alcuno, poiché 

 allora, non potendo essere m = (altrimenti F 2 coinciderebbe con Fj), risul- 

 terebbe dalle (13*) 



e potremmo fare ^E = f/G = l. La superficie S sarebbe una sviluppabile, 

 ed i raggi della congruenza (JH), avendo i coseni di direzione (Xi,T lt Zi), 

 e questi risultando costanti lungo ogni generatrice della sviluppabile, si 

 ordinerebbero in sviluppabili cilindriche, ed uno dei fuocbi sarebbe allonta- 

 nato all' infinito. 



Cosi, adunque, il verificarsi delle condizioni c) n. 3 viene tradotto nelle 

 equazioni (I) e (II). Ma converrà ancora tener conto, per la dimostrazione, 

 delle loro conseguenze differenziali. La condizione d' integrabilità delle (I), 



ci dà 



,14) k ,/eg-/ = -L215M + 1 2ÌllL + 2Ìl 



|/E 7iu i/q Dv ~òv ~òu 



ovvero, avendo riguardo alle (lì). 



(14* KfEG = — cote -= — '- cote — — 1 — 



