In fine, costruendo la condizione d'integrabilità delle (II). 



lm_ 1 l£_G_ \ ì /_«_ 1 2£B \ J> ( ^ sm r) _ 

 ysen |/e / 7>y ysen e j/q. 7>y / 7)i> 



ed osservando le (I) e le (14*), resta semplicemente 



(15) 



od anche 

 (15*) 



— - — cos a = 1/E seu a — 



(j/E cos a) = 



6. Sviluppate così le formole che seguono dal supposto verificarsi delle 

 condizioni c) n. 3, passiamo a provare che esiste una deformata S della S 

 per la quale tutti i raggi di [T] verranno a confondersi in una sola retta. 

 Per questo, cerchiamo quali valori D„ , Dó , DJ' dovranno assumere i coeffi- 

 cienti della seconda forma fondamentale nella S„. Intanto è chiaro che 

 questi valori dovranno essere tali che risultino soddisfatte le condizioni 

 seguenti : 



a) i coseni di direzione X , T , Z dei raggi della congruenza si 

 riducano a costanti ; 



/?) le derivate rapporto ad u, e quelle rapporto a v, di a,,?/,,^, 

 risultino proporzionali a X , Y , Z . 



Viceversa, se i valori D , Dó , D" saranno tali da soddisfare a queste 

 condizioni a), /S), e, insieme, alla (G) di Gauss ed alle (C) di Codazzi, i 

 raggi /■ saranno raccolti nella configurazione S in un'unica retta; poiché, 

 per le a), tutti i raggi avranno la stessa direzione e, per le /?), nel pas- 

 saggio da un raggio ad un qualunque successivo il punto F! si sposterà 

 sempre nella direzione del raggio stesso. Ora, derivando le (9) coll'osser- 

 vare le (8), si ottiene 



~ = ( -^L -f ~ ) ( — sen aXi -f- cos <rX 3 ) — 



Vj/E -òuJ 



(16) 



sen <xD' ^_ cos a 7) t/E 



TiX 

 ~òv 



j/G " JG 



( -f- — | ( - sen cX, + cos <rX 3 ) — 

 \t/E ìv) 



sen <xD" cos a i>\ G 



( 



G 



|/E ^ 



X., 



e le formole analoghe. Nella configurazione S , riducendosi X , Y , Z a co- 



