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Codazzi diventa un" identità; e la seconda, che diventa 



1 1>1/E tòg 

 j/G ~òv iv ' 



viene nuovamente a coincidere colla (14*). 



Abbiamo così dimostrato il teorema: 



Ogni congruenza rettilinea a sviluppabili distinte,, che soddisfi alle 

 condizioni c) n. 3, è una congruenza di rotolamento. 



7. In riguardo alla determinazione della superficie rotolante S , i ri- 

 sultati precedenti ne rissano intrinsecamente la forma, assegnando i valori 

 (III) dei coefficienti della sua seconda forma fondamentale. Volendo trovare 

 effettivamente questa configurazione S , rimarrebbe però da integrare una 

 equazione differenziale del tipo di Riccati, complicata inoltre di immagi- 

 narii. Ma è facile vedere che, nel caso nostro, con sole quadrature nel 

 campo reale, si può trovare in termini finiti la S . 



E invero ricordiamo che nella configurazione S i tre coseni X , T , Z 

 debbono ridursi a tre costanti, che possiamo supporre date da (0,0,1), 

 bastando, per questo, prendere per asse Oz la retta satellite. 



Allora, da 



cos ffX, -j- sen <rX 3 = 

 cos crYì -\- sen gY 3 — 

 cos ffTn -f- sen gZ 3 = 1 , 



si trae 



Z x = cos g , Z 2 = , Z 3 = sen g . 



Le prime (8) dimostrano che l'ordinata z = z(u,v) nella superficie S 

 sarà data, per quadrature, dalle formolo 



= 1 E COS G , — = . 



1)U ~ÒV 



la ove è da osservarsi che la condizione d' integrabilità è soddisfatta per 

 (15*). Conosciuta così z con una quadratura, per determinare sc,y abbiamo 



dx 2 + dy 2 + ds 2 = E du 2 + G dv 2 , 



cioè 



dx 2 -j- dy 2 = E senV du 2 + G dv 2 . 



lu\ j/E l>u f ~òv \ |/g ~!>v / 



1 7) j/G 



