Ma subito si riscontra che la forma differenziale del secondo membro ha 

 in effetto nulla la curvatura, a causa delle (14*), (15*); sicché bastano 

 quadrature per trovare x , y , 



Come ulteriore verifica, si può notare che i valori dei coefficienti della 

 seconda forma fondamentale, calcolati dalle note forinole 



vengono appunto a combinare coi valori (III). 



8. I calcoli eseguiti al n. 6 possono farsi servire a dimostrare inversa- 

 mente che: ogni congruenza dì rotolamento (a sviluppabili distinte) sod- 

 disfa alle condizioni c) n. 3. 



E invero, se la congruenza (r) è di rotolamento, dovrà esistere una 

 deformata S per la quale i raggi r si raccolgano in una sola retta, e quindi 

 X , Y , Z diventino tre costanti, e le derivate di x x , yi , &i risultino propor- 

 zionali a X , Y , Z. La prima condizione dà, per D , Dó , Dó', i valori (III), 

 e conseguentemente la (15) dovrà essere verificata. E la (14*) ne seguirà 

 ancora nuovamente esprimendo che D , Dó , Dó' soddisfano alle equazioni di 

 Gauss e Codazzi. 



, calcolati dalle (17), risultino proporzionali a X,Y,Z, toma a dare 



in primo luogo le (I), ed in secondo luogo le (II), sicché le condizioni c) 

 n. 3 vengono ad essere soddisfatte (n. 5). 



Possiamo intanto concludere che: Le congruenze a sviluppabili distinte 

 per le quali i fuochi ed i piani focali si serbano immobili per ogni 

 raggio, deformandosi la congruenza nel modo del n. 1, sono unicamente 

 le congruenze di rotolamento. 



Aggiungiamo, però, subito, che, per le congruenze a sviluppabili coinci- 

 denti, l'immobilità del fuoco e del piano focale non è affatto caratteristica 

 per le congruenze di rotolamento. E infatti, una qualunque congruenza a 

 sviluppabili coincidenti è costituita dalle tangenti alle linee asintotiche di 

 un sistema di una superficie 2' che rappresenta l'unica superficie focale. 

 Ora se si considera la prima o la seconda falda focale della evoluta di 2, 

 ed alle faccette piane di questa superficie S si legano invariabilmente i 

 relativi raggi delle congruenze, subito si vede che il fuoco ed il piano focale 

 serbano posizione invariabile, deformando comunque S. Dunque, qualunque 

 congruenza a sviluppabili coincidenti soddisfa alle dette condizioni d'immo- 

 bilità. Invece la congruenza è di rotolamento soltanto quando, sulla super- 

 ficie focale 2, le linee, lungo le quali è costante la curvatura di 2, sono 

 linee di curvatura (ved. Memoria citata, § 5). 



tu = DZ 3 



z 12 = B'Z 3 



Sì2 = D"Z: 



La seconda condizione, che — — , — — , 



~òu ~òu 



~òu 



