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Ritornando alle congruenze generali di rotolamento a sviluppabili di 

 stinte, possiamo riassumere i risultati ottenuti colle seguenti costruzioni per 

 i loro fuochi e piani focali : Supposto che sia r la posizione occupata dalla 

 retta satellite, quando la superficie rotolante S viene a contatto con quella S 

 d'appoggio in un suo punto P , avremo : 



1°) Un fuoco F, è il punto ove il piano n tangente in P inter- 

 seca r, e l'altro fuoco F 2 è il piede della perpendicolare abbassata da P 

 sopra r. 



2°) // piano focale n x relativo al fuoco Fj è il piano condotto 

 per r normalmente a tv, ed il secondo piano foca/e n. 2 è il piano con- 

 dotto per r normalmente al piano (P , r). 



9. Le costruzioni geometriche così semplici, ora formulate, dei fuochi 

 e dei piani focali nelle congruenze di rotolamento, valgono anche nel caso 

 delle congruenze a sviluppabili coincidenti, e qui da ultimo vogliamo con- 

 fermarle in generale con brevi considerazioni geometriche. Per questo uti- 

 lizzeremo le proposizioni elementari relative al rotolamento (') di superficie 

 applicabili: e particolarmente la nozione di direzioni cinematicamente co- 

 niugate dovuta a Beltrami. 



Si sa che se la superficie rotolante S passa dalla posizione attuale ad 

 una successiva S' , spostandosi il punto P di contatto colla superficie S di 

 appoggio (centro istantaneo di rotazione) dalla posizione P alla infinitamente 

 vicina P', il movimento rigido, intìnitesimo, che porta S in Só. è puramente 

 rotatorio, e Yasse istantaneo di rotazione è quella tangente in P che ha 

 la direzione cinematicamente coniugata a quella PP' dello spostamento del 

 centro di rotazione. 



Essendo qui inoltre escluso il caso di rigate rotolanti, si sa che le 

 coppie di direzioni cinematicamente coniugate attorno a P formano un'invo- 

 luzione propria: sicché l'asse istantaneo di rotazione può scegliersi ad ar- 

 bitrio fra le tangenti in P. purché lo spostamento del centro di rotazione 

 si assuma nella direzione cinematicamente coniugata. 



Ciò premesso, è facile di determinare le sviluppabili nella congruenza di 

 rotolamento, ricercando per ogni raggio r quali sono le posizioni infinita- 

 mente vicine r' che lo incontrano. È evidente che la tangente t in P, che 

 rappresenta l'asse istantaneo di rotazione, dovrà per questo offrire uno dei 

 due casi seguenti: 1°) appoggiarsi in un punto a r; 2°) essere normale al 

 raggio r . Ora appunto fra le tangenti in P ve ne è una, ed una sola, di- 

 ciamo t. appoggiata ad r, e cioè nel punto (r , ti) ove il piano tangente 

 in P sega r; ed una seconda, t', normale ad r. Quando l'asse istantaneo si 

 fa coincidere con t, il punto Fj = (r , n) è altresì il punto ove / inter- 



(') Cfr. Lhtrboux, Lefons, V éme partie, chap. VI; e le mie Lezioni, voi. II, § 237. 



