— 16 — 



seca r, e per ciò F x è uno dei fuochi. E se l'asse istantaneo coincide con t H 

 il punto ove r è incontrato dalla sua posizione successiva r è il piede F 2 

 della perpendicolare abbassata da P sopra r, onde F 2 è il secondo fuoco. 



E poi manifesto che nel primo caso il piano rr' (secondo piano focale) 

 è quello condotto per r normalmente al piano (P , r) ; e nel secondo caso, 

 invece, il piano rr' (primo piano focale) è quello condotto per r normalmente 

 al piano tangente n . Così restano dimostrate, per via geometrica, le costru- 

 zioni assegnate al n. 8 pei fuochi e pei piani focali nelle congruenze di 

 rotolamento. 



Ed ora completiamo queste considerazioni col determinare le sviluppa- 

 bili della congruenza. 



Per abbreviare, diamo il nome di profili meridiani della superficie 

 rotolante S alle sue sezioni piane con piani per la retta satellite, e chia- 

 miamo linee di livello quelle fatte con piani normali alla retta stessa. Per 

 quanto precede, possiamo allora dire che gli assi istantanei di rotazione, 

 corrispondenti alle striscie elementari delle sviluppabili di una serie, invi- 

 luppano sulla superfìcie S d'appoggio le trasformate dei profili meridiani 

 della S , mentre quelli corrispondenti alle sviluppabili dell'altra serie invi- 

 luppano invece le trasformate delle linee di livello. E poiché, ogni volta, 

 lo spostamento del centro istantaneo di rotazione avviene nella direzione 

 cinematicamente coniugata, possiamo enunciare il risultato finale: 



In una congruenza di rotolamento, le sviluppabili di una serie cor- 

 rispondono alle linee della superficie d'appoggio che sono cinematicamente 

 coniugate alle trasformate dei profili meridiani della superficie rotolante; 

 e, similmente, le sviluppabili dell'altra serie corrispondono alle linee cine- 

 maticamente coniugate alle trasformate delle linee di livello. 



Questo risultato dimostra, in particolare, che la congruenza di rotola- 

 mento avrà sviluppabili coincidenti solo quando per la superficie rotolante S 

 le linee di livello coincidano coi profili meridiani ; lo che accade manifesta- 

 mente solo per le superficie conoidali rette, il cui asse sia la retta satellite: 



Le congruenze di rotolamento a sviluppabili coincidenti sono tutte 

 e sole quelle generate dall'asse di una superficie conoidale retta che rotola 

 sopra una qualunque superficie (non rigala) aj)plicabile. 



E in fine, ritornando al caso generale di sviluppabili distinte, osser- 

 veremo che, se si cangia la retta satellite mantenendole la stessa direzione, 

 le linee di livello nella superficie rotolante S restano le stesse ; e per ciò, 

 quando la superficie d'appoggio S si mantenga la stessa, le sviluppabili 

 della seconda serie nelle congruenze di rotolamento si corrispondono; onde 

 concludiamo: 



Se una superficie S rotola sopra una superficie applicabile S, rette 

 parallele, come satelliti della S , generano congruenze le cui sviluppabili 

 in una serie si corrispondono. 



