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Matematica. — Sulla definizione di arco di una curva e 

 dell'integrale di Weierstrass, che si presenta nel calcolo delle 

 variazioni. Nota di Guido Fubini, presentata dal Corrispondente 

 0. Tedone. 



I risultati di questa Nota non sono completamente nuovi; li pubblico, 

 perchè la seguente dimostrazione è semplicissima, e, senza artificio alcuno, 

 giunge ai risultati più generali nel modo più breve. 



Siano x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) funzioni continue a variazione 

 limitata, le quali nell'intervallo a^t^b definiscono una curva continua 



rettificabile. L'arco s di questa curva è dato da f V 2 -f- y n -f- i % dt , 



allora, e allora soltanto, che x(t) , y(t) , z{t) siano assolutamente continue. 

 Questo teorema, ottenuto con successive generalizzazioni da Lebesgue, De la 

 Vallee-Poussin e Tonelli, si può (Tonelli) dimostrare facilmente con un 

 semplice artificio dovuto al De la Vallee-Poussin. 



Possiamo in tal caso assumere al posto del parametro t il parametro s , 

 o, senz'altro, supporre t = s. 



Consideriamo una poligonale P inscritta nella curva, avente i vertici 

 successivi nei punti t, = a , t t ^> U , tz^> U , ... , t n = b. Al variare della 

 P in modo che la massima delle — t„ tenda a zero, il perimetro di P 

 avrà per limite la lunghezza b — a dell'arco di curva dato. 



Sia P una delle nostre poligonali; noi potremo ancora definire le coor- 

 dinate di un suo punto come date da equazioni x = x(t) ,y — y{t) , z = s(t) 

 (per a <_ 2 ^-b) in molteplici modi. E noi fisseremo che un vertice della 

 poligonale, il quale è pure un punto della curva se = x(t) , y — y{t) , 

 z = z(t) data, sia definito dallo stesso valore di t, vuoi come punto della 

 curva, vuoi come punto della poligonale; che cioè, nelle nostre notazioni, 

 sia x(t r ) = x(t r ) , y(t r ) = y{t r ) , z(t r ) = s(t r ) per r = 1 , 2 , ... , n . E ancora 

 fisseremo che per l r ^t<t r + 1 le x(t) , y(t) , z(t) siano funzioni lineari 

 della t. Con queste convenzioni, data la poligonale P, restano completa- 

 mente individuate le x(t) , y(l) , s(t). Tra i punti di P e i punti della data 

 curva resta così definita una corrispondenza, in cui due punti sono consi- 

 derati corrispondenti quando corrispondono ad uguali valori del parametro t. 

 In questa corrispondenza i vertici di P corrispondono a se stessi. 



Noi ora proveremo che : Se P varia così che la massima delle t r+l — t r 

 tenda a zero, per ogni valore di t, per cui esistono e sono finiti x'(t), 

 y'(t) , z'(t), cioè per quasi tutti i valori di t, è 



lim x'(t) = x\t) , lim y'(t) = y'(t) , lim s'(t) = z'(t) . 



