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In altre parole, le derivate di x ,y ,s calcolate in un punto della poligo- 

 nale P hanno per limite le derivate analoghe calcolate nel punto corrispon- 

 dente della curva data. 



Sia t un valore per cui esista x'(l). Il punto corrispondente della curva, 

 e il punto omologo di P, si troveranno rispettivamente su un archetto di 

 tale curva e su quel lato di P che ne congiunge gli estremi. Siano t r , t r+ì 

 i due vertici estremi comuni di tale archetto o di tale lato. Senza escludere 

 che il punto considerato sia esso stesso un vertice di P, sarà t r <. i^. t r+i . 

 La derivata x'(t) è costante sul lato considerato della nostra poligonale, 

 e vale 



x 



(tr-+\) (tr) %(tr-i-l) x(t r ) 



x'(t) = 



ty+.\ ty tf-i~l ty 



Ora 



t — t 



r 



X(t r +i) = X(t) + (t M — X'(t) -j- s(t r+1 — t) 

 X(t r ) = X(t) — (t — t r ) x'(t) — t](t — t r ) , 



dove s , i) tendono a zero con t r+x — t r . Dunque 



m = At) + = x , [t) + s + {v _ s) 



Lf^-\ ty ' 1 Vy 



Osservando che 0<. — -~ se ne deduce che, per t r +i — t r =0, 



tr+i tr 



è appunto x'(t) = x'(t), ecc., come volevasi provare. 



L'applicazione all'integrale di Weierstrass è immediata. 



Sia f(x , y , s ; x' , y r , g') una funzione finita e continua e quindi anche 

 limitata, fino a che (x , y , s) varia in un certo dominio r , e os' ,,y' , g' sod- 

 disfano alla x hl -j- y' 2 -f- z'' 1 = 1 . La f sia positivamente omogenea di 

 grado 1 ; cioè, per ogni valore del numero A ^> 0, sia 



f(x ,y ,z ; x' ,y' , g) = f(x , */ , z ; A»' , Ay' , A*') . 



Sia G una curva rettificabile interna a r, di cui x = x(s) , y = y(s) , 

 g = g(s) definiscano un punto generico A, in funzione dell'arco s misurato 



da un estremo di C fino al punto A . Lo J = ^f(x , y , si ; se' ,y' , é T ) ds , 



esteso a tale curva G, è, secondo Weierstrass, il limite dell'integrale ana- 

 logo relativo ad una f oligonaie P inscritta in C , quando il massimo lato 

 di P tende a zero. Evidentemente questa definizione non muta se poniamo 

 le equazioni parametriche di P sotto la forma x = x(t) , y = y(t) ,2=ì(t). 



