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deragioni essenzialmente topologiche, assegnando in funzione delle S,- la 

 serie lineare cui appartiene il gruppo dei punti critici apparenti. Si ritrova, 

 così, che questa serie determina la famiglia delle funzioni y, cosa già di- 

 mostrata per via algebrica da A. Comessatti ( l ) nel caso di n = 2. 



2. Esporrò qui, discorsivamente, il filo delle mie considerazioni, riman- 

 dando alla fine (§ 3) della presente Nota per la dimostrazione di alcune 

 proposizioni che verranno momentaneamente ammesse, e ciò per rendere più 

 chiaro lo svolgersi del ragionamento. 



Supponiamo che la curva xp = sia dotata solo di punti doppi a tan- 

 genti distinte (caso a cui si può sempre ridurrò con una conveniente tras- 

 formazione birazionale), e indichiamo con *P la riemanniana della curva 

 stessa. 



Assumiamo come modello della 3* una sfera con p manici, e su essa 

 prendiamo come sistema dei cicli riemanniani C; il sistema delle 2p retro- 

 sezioni A, e B,- («'=1,2, ... , p) ( 2 ). 



n 



Se la funzione y = \ f{x ,Z) non ha punti di diramazione sulla 

 occorrerà, come già abbiamo ricordato, che la curva / = abbia un con- 

 tatto «-punto, ovunque essa intersechi la xp = 0; conviene però esaminare 

 come si comporti la f nei punti doppi della xp ad essa comuni. Precisamente, 

 se la f passa per un punto D doppio per la xp (a cui corrispondono due 

 punti sulla essa dovrà avere n intersezioni riunite con ciascuno dei due 

 rami della xp, e pertanto dovrà avere come doppio (almeno) il punto D, 

 e ciascuno dei suoi rami dovrà avere un contatto, con i rami della xp, di 

 ordine n — 2, se il punto D è solo doppio per la f\ d'ordine n — r, se 

 il punto è r-plo. 



Veniamo ora alla costruzione del polinomio f{x,s), tale che gli n va- 

 lori della funzione 



n 



y = \ f( X ,s) , 



priva di punti di diramazione sulla i P, si permutino secondo sostituzioni 



Si = (1,2,... ,n)«i 



assegnate, quando il punto (x , s) descrive un ciclo C t - della ^P. 



Per comodità cercheremo la curva f{x , z), soddisfacente alle nostre 

 condizioni, fra le curve di un ordine nr abbastanza elevato, passanti per 

 ogni punto doppio della xp ed aventi n intersezioni riunite con ciascuno dei 

 rami della xp uscenti dal punto medesimo: indicheremo con f queste curve. 



(') Sulle curve doppie di genere qualunque, Memorie dell'Accad. delle Scienze di 

 Torino, ser. II, tom. LX. 



C) Cfr., per esempio, P. Severi, Lezioni di geometria algebrica. Tip. Draghi, Pa- 

 dova 1908, pag 269. 



