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Essendo nr abbastanza elevato esisteranno certo delle f le quali abbiano 

 un contatto spunto in ogni loro intersezione con la curva xp : indico con f 

 le curve soddisfacenti a questa ulteriore condizione, e con q il numero dei 

 punti in cui esse osculano la xp fuori dei suoi punti doppi, e che, insieme 

 con i punti doppi contati due volte, formano il gruppo dei punti critici 

 apparenti per le funzioni 



* 



y = Vf{x , s) . 



Sussiste anzitutto il 



Teorema : se due curve /'„ e f l toccano la curva xp in punti (fuori 

 dei punti doppi) di due gruppi G e Gì equivalenti, esse danno luogo alle 

 medesime sostituzioni S*, e quindi a funzioni y birazionalmente identiche. 



La dimostrazione di questo teorema si fa osservando che si può pas- 

 sare con continuità [cfr. § 3, a)~] dalla curva /' alla f x muovendosi nella 

 famiglia delle curve f, e che durante questo passaggio il sistema delle 

 sostituzioni Sj non può venire modificato. 



Invece non è possibile di passare per continuità, movendosi entro la fa- 

 miglia delle curve f, da una curva f a un'altra fa , corrispondenti a di- 

 versi sistemi di sostituzioni S;. Questo passaggio diventa però possibile 

 quando si muova nella famiglia delle curve f, data da quelle curve /' le 

 quali abbiano, con la xp, non più q intersezioni n-ple, ma q — 1 punti R ft 

 d* intersezione n-pla, un punto Q d'intersezione (n — \)-pla, e un punto P 

 d' intersezione semplice : le curve / ed (\ apparendo così particolari curve / ' 

 per le quali P e Q coincidono. 



Precisamente noi faremo il passaggio effettivo da una curva /' , per 

 la quale tutte le S( siano l' identità, a una curva f x per la quale il sistema 

 delle Si sia un sistema prefissato: e in questo modo determineremo quale 

 è la serie a cui appartiene il gruppo Gì dei punti in cui la f x oscula la xp, 

 cioè il gruppo dei punti critici apparenti della 



y = Vfj(x , z) ; 



in questo ci gioveremo essenzialmente del fatto che le curve f dànno fun- 

 zioni 



n 



y = VJ\(x ,z) , 



dotate di due punti P e Q di diramazione. 

 Consideriamo adunque la curva 



/oO , s) = (p n {x , z) = , 

 Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 



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